专题07函数奇偶性的判断和证明VIP免费

1第07讲：函数奇偶性的判断和证明【考纲要求】结合具体函数，了解函数奇偶性的含义。【基础知识】1、函数的奇偶性的定义3、判断函数的奇偶性的方法（1）定义法首先必须考虑函数的定义域，如果函数的定义域不关于原点对称，则函数一定是非奇非偶函数；如果函数的定义域关于原点对称，则继续求Error:Referencesourcenotfound；最后比较Error:Referencesourcenotfound和Error:Referencesourcenotfound的关系，如果有Error:Referencesourcenotfound=Error:Referencesourcenotfound，则函数是偶函数，如果有Error:Referencesourcenotfound=-Error:Referencesourcenotfound，则函数是奇函数，否则是非奇非偶函数。（2）求和判别法对于函数定义域内的任意一个x，若Error:Referencesourcenotfound，则Error:Referencesourcenotfound是奇函数；若Error:Referencesourcenotfound，则Error:Referencesourcenotfound是偶函数。（3）作差判别法对于函数定义域内任意一个x，若Error:Referencesourcenotfound，则Error:Referencesourcenotfound是奇函数；若Error:Referencesourcenotfound，则Error:Referencesourcenotfound是偶函数。（4）作商判别法对于函数定义域内任意一个x，设Error:Referencesourcenotfound，若Error:Referencesourcenotfound，则Error:Referencesourcenotfound是奇函数Error:Referencesourcenotfound，则Error:Referencesourcenotfound是偶函数。例1判断下列函数的奇偶性2（1）Error:Referencesourcenotfound（2）Error:Referencesourcenotfound解：（1）Error:Referencesourcenotfound（2）Error:Referencesourcenotfound例2定义在实数集上的函数f(x)，对任意x，y∈R，有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)·f(y)且f(0)≠0①求证：f(0)=1②求证：y=f(x)是偶函数证明：①令x=y=0，则f(0)+f(0)=2f2(0) f(0)≠0∴f(0)=1②令x=0，则f(y)+f(-y)=2f(0)·f(y)∴f(-y)=f(y)∴y=f(x)是偶函数例3判断函数Error:Referencesourcenotfound的奇偶性解：由题得函数的定义域关于原点对称。设Error:Referencesourcenotfound则Error:Referencesourcenotfound，Error:Referencesourcenotfound设Error:Referencesourcenotfound则Error:Referencesourcenotfound，Error:Referencesourcenotfound所以函数Error:Referencesourcenotfound是奇函数。【点评】对于分段函数奇偶性的判断，也是要先看函数的定义域，再考虑定义，由于它是分段函数，所以要分类讨论。【变式演练1】判断函数Error:Referencesourcenotfound的奇偶性。【变式演练2】已知函数Error:Referencesourcenotfound是奇函数，Error:Referencesourcenotfound是偶函数，判断函数Error:Referencesourcenotfound的奇偶性。方法二求和判别法使用情景[来源:学&科&网]一般是对数函数。解答步骤对于函数定义域内的任意一个x，若Error:Referencesourcenotfound，则Error:Referencesourcenotfound是奇函数；若Error:Referencesourcenotfound，则Error:Referencesourcenotfound是偶函数。3例4判断函数Error:Referencesourcenotfound的奇偶性。解法1：利用定义判断，由Error:ReferencesourcenotfoundError:ReferencesourcenotfoundError:Referencesourcenotfound，可知Error:Referencesourcenotfound是奇函数。解法2：由x∈R，知Error:Referencesourcenotfound。因为Error:ReferencesourcenotfoundError:Referencesourcenotfound，所以Error:Referencesourcenotfound是奇函数。例5判断函数Error:Referencesourcenotfound的奇偶性。解：由题得Error:Referencesourcenotfound，因为Error:ReferencesourcenotfoundError:Referencesourcenotfound，所以Error:Referencesourcenotfound是偶函数。【点评】作差判别法实际上是奇偶函数定义的等价形式，但是利用定义判断，计算较为复杂，利用作差判别法可以化繁为简，简洁高效。方法四作商判别法使用情景一般含有指数函数运算。解答步骤[来源:学|科|网Z|X|X|K]对于函数定义域内任意一个x，设Error:Referencesourcenotfound，若Error:Referencesourcenotfound，则Error:Referencesourcenotfound是奇函数；若Error:Referenc...