课时提升练(四十六)抛物线一、选择题1．(2013·四川高考)抛物线y2＝4x的焦点到双曲线x2－＝1的渐近线的距离是()A.B.C．1D.【解析】由题意可得抛物线的焦点坐标为(1,0)，双曲线的渐近线方程为x－y＝0或x＋y＝0，则焦点到渐近线的距离d1＝＝或d2＝＝.【答案】B2．已知点P在抛物线y2＝4x上，那么点P到点Q(2，－1)的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为()A.B.C．(1,2)D．(1，－2)【解析】如图， 点Q(2，－1)在抛物线的内部，由抛物线的定义，|PF|等于点P到准线x＝－1的距离．过Q作x＝－1的垂线QH交抛物线于点K，则点K为取最小值时的所求点．当y＝－1时，由1＝4x得x＝.所以点P的坐标为.【答案】A3．(2013·江西高考)已知点A(2,0)，抛物线C：x2＝4y的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，则|FM|∶|MN|＝()A．2∶B．1∶2C．1∶D．1∶3【解析】如图所示，由抛物线定义知|MF|＝|MH|，所以|MF|∶|MN|＝|MH|∶|MN|.由于△MHN∽△FOA，则＝＝，则|MH|∶|MN|＝1∶，即|MF|∶|MN|＝1∶.【答案】C4．(2014·辽宁高考)已知点A(－2,3)在抛物线C：y2＝2px的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为()A．－B．－1C．－D．－【解析】 点A(－2,3)在抛物线C的准线上，∴＝2，∴p＝4.1∴抛物线的方程为y2＝8x，则焦点F的坐标为(2,0)．又A(－2,3)，根据斜率公式得kAF＝＝－.【答案】C5．(2014·郑州模拟)一动圆与直线x＝－1相切且始终过点(1,0)，动圆的圆心的轨迹为曲线C，那么曲线C上的点到直线x＝－1的距离与到直线x＋y＋4＝0的距离和的最小值为()A.B.C.D.【解析】设动圆的圆心为M(x，y)，由题意知|x＋1|＝，即y2＝4x，所以动圆的圆心的轨迹C的方程为y2＝4x，由此可知抛物线的焦点为F(1,0)，准线为x＝－1，设曲线C上的点为P，点P到直线x＝－1的距离为d1，到直线x＋y＋4＝0的距离为d2，由抛物线的定义知d1＝|PF|，所以d1＋d2＝|PF|＋d2，要使d1＋d2最小，只需PF与P在直线x＋y＋4＝0上的垂足Q共线即可，所以(d1＋d2)min＝＝，故选B.【答案】B6．设斜率为2的直线l过抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点F，且和y轴交于点A，若△OAF(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为()A．y2＝±4xB．y2＝±8xC．y2＝4xD．y2＝8x【解析】由已知得抛物线焦点为F，∴AF所在直线方程为y＝2，∴A，∴S△OAF＝×·＝＝4，∴a2＝64，∴a＝±8，∴抛物线的方程为y2＝±8x.【答案】B二、填空题7．(2014·陕西高考)抛物线y2＝4x的准线方程为________．【解析】由抛物线y2＝4x，得p＝2，故准线方程为x＝－1.【答案】x＝－18．(2014·湖南高考)平面上一机器人在行进中始终保持与点F(1,0)的距离和到直线x＝－1的距离相等．若机器人接触不到过点P(－1,0)且斜率为k的直线，则k的取值范围是________．【解析】由题意知机器人行进轨迹为以F(1,0)为焦点，x＝－1为准线的抛物线，其方程为y2＝4x.设过点(－1,0)且斜率为k的直线方程为y＝k(x＋1)．代入y2＝4x，得k2x2＋(2k2－4)x＋k2＝0. 机器人接触不到该直线，∴Δ＝(2k2－4)2－4k4<0，∴k2>1.∴k>1或k<－1.【答案】(－∞，－1)∪(1，＋∞)9．(2012·重庆高考)过抛物线y2＝2x的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，若|AB|＝，|AF|＜|BF|，则|AF|＝________.【解析】由y2＝2x，得p＝1，焦点F.2又|AB|＝，知AB的斜率存在(否则|AB|＝2)．设直线AB的方程为y＝k(k≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)．将y＝k代入y2＝2x，得k2x2－(k2＋2)x＋＝0.(*)∴x1＋x2＝1＋，又|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋p＝x1＋x2＋1＝，因此x1＋x2＝1＋＝，k2＝24.则方程(*)为12x2－13x＋3＝0，又|AF|＜|BF|，∴x1＝，x2＝.∴|AF|＝x1＋＝＋＝.【答案】三、解答题10．已知过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1＜x2)两点，且|AB|＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)O为坐标原点，C为抛物线上一点，若OC＝OA＋λOB，求λ的值．【解】(1)直线AB的方程是y＝2，与y2＝2px联立，从而有4x2－5px＋p2＝0，所以x1＋x2＝.由抛物线定义得|AB|＝x1＋x2＋p＝9，∴p＝4，从而抛物线方程是y2＝8x.(2)由p＝4知4x2－5px＋p2＝0可化为x2－5x＋4＝0，从而x1＝1，x2＝4，y1＝－2，y2＝...
