课时提升练(二十四)平面向量基本定理及坐标表示一、选择题1．已知点M(5，－6)和向量a＝(1，－2)，若MN＝－3a，则点N的坐标为()A．(2,0)B．(－3,6)C．(6,2)D．(－2,0)【解析】MN＝－3a＝－3(1，－2)＝(－3,6)，设N(x，y)，则MN＝(x－5，y＋6)＝(－3,6)，∴∴.【答案】A2．若向量a＝(1,1)，b＝(－1,1)，c＝(4,2)，则c＝()A．3a＋bB．3a－bC．－a＋3bD．a＋3b【解析】3a－b＝3(1,1)－(－1,1)＝(3,3)－(－1,1)＝(4,2)．【答案】B3．已知向量m＝(2,0)，n＝.在△ABC中，AB＝2m＋2n，AC＝2m－6n，D是BC边的中点，则|AD|等于()A．2B．4C．6D．8【解析】由题意知AB＋AC＝2AD，∴AD＝(AB＋AC)＝2m－2n＝2(2,0)－2＝(1，－)．∴|AD|＝＝2.【答案】A4．设向量a＝(1，－3)，b＝(－2,4)，若表示向量4a、3b－2a、c的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c为()A．(1，－1)B．(－1,1)C．(－4,6)D．(4，－6)【解析】4a＝(4，－12)，3b－2a＝(－8,18)，设向量c＝(x，y)，依题意得4a＋(3b－2a)＋c＝0，所以4－8＋x＝0，－12＋18＋y＝0，解得x＝4，y＝－6.【答案】D5．已知平面向量a＝(1，x)，b＝，若a与b共线，则y＝f(x)的最小值是()A．－B．－4C．－D．－3【解析】因为a与b共线，故y－1＝x，即：y＝x2－3x＋1＝(x－3)2－.所以y＝f(x)的最小值为－.【答案】C6．在△ABC中，点P在BC上，且BP＝2PC，点Q是AC的中点，若PA＝(4,3)，PQ＝(1,5)，则BC等于()A．(－2,7)B．(－6,21)C．(2，－7)D．(6，－21)【解析】BC＝3PC＝3(2PQ－PA)＝6PQ－3PA＝(6,30)－(12,9)＝(－6,21)．【答案】B7．如图425，在平行四边形ABCD中，O是对角线AC，BD的交点，N是线段OD的中点，AN的延长线与CD交于点E，则下列说法错误的是()1图425A.AC＝AB＋ADB.BD＝AD－ABC.AO＝AB＋ADD.AE＝AB＋AD【解析】由向量减法的三角形法则知，BD＝AD－AB，排除B；由向量加法的平行四边形法则知，AC＝AB＋AD，AO＝AC＝AB＋AD.排除A、C.【答案】D8．△ABC的三内角A、B、C所对边的长分别为a，b，c，设向量p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)，若p∥q，则角C的大小为()A.B.C.D.【解析】由p∥q知(a＋c)(c－a)－b(b－a)＝0，即a2＋b2－c2＝ab，∴cosC＝＝＝，∴C＝.【答案】B9．已知点A(2,1)，B(0,2)，C(－2,1)，O(0,0)，给出下面的结论：①直线OC与直线BA平行；②AB＋BC＝CA；③OA＋OC＝OB；④AC＝OB－2OA.其中正确结论的个数是()A．1B．2C．3D．4【解析】由题意kOC＝＝－，kBA＝＝－，∴OC∥BA，①正确； AB＋BC＝AC，∴②错； OA＋OC＝(0,2)＝OB，∴③正确； OB－2OA＝(－4,0)，AC＝(－4,0)，∴④正确．【答案】C10．若α，β是一组基底，向量γ＝xα＋yβ(x，y∈R)，则称(x，y)为向量γ在基底α，β下的坐标，现已知向量a在基底p＝(1，－1)，q＝(2,1)下的坐标为(－2,2)，则a在另一组基底m＝(－1,1)，n＝(1,2)下的坐标为()A．(2,0)B．(0，－2)C．(－2,0)D．(0,2)【解析】 a在基底p、q下的坐标为(－2,2)，即a＝－2p＋2q＝(2,4)，令a＝xm＋yn＝(－x＋y，x＋2y)．∴，即.∴a在基底m，n下的坐标为(0,2)．【答案】D11．在△ABC中，点D在线段BC的延长线上，且BC＝3CD，点O在线段CD上(与点C、D不重合)，若AO＝xAB＋(1－x)AC，则x的取值范围是()A.B.C.D.【解析】由题意，设BO＝λBC，其中1＜λ＜，则有AO＝AB＋BO＝AB＋λBC＝AB＋λ(AC2－AB)＝(1－λ)AB＋λAC.又AO＝xAB＋(1－x)AC，且AB、AC不共线，于是有x＝1－λ∈.【答案】D12．非零不共线向量OA，OB，且2OP＝xOA＋yOB，若PA＝λAB(λ∈R)，则点Q(x、y)的轨迹方程为()A．x＋y－2＝0B．2x＋y－1＝0C．x＋2y－2＝0D．2x＋y－2＝0【解析】PA＝λAB，得OA－OP＝λ(OB－OA)，即OP＝(1＋λ)OA－λOB，又2OP＝xOA＋yOB，∴消去λ得x＋y＝2.【答案】A二、填空题13．(2014·湖北高考)若向量OA＝(1，－3)，|OA|＝|OB|，OA·OB＝0，则|AB|＝________.【解析】由题意，可知△AOB是以O为直角顶点的等腰直角三角形，且腰长|OA|＝|OB|＝，由勾股定理得|AB|＝＝2.【答案】214．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A、B、C三点满足OC＝OA＋OB，则＝________.【解析】 OC＝OA＋OB，∴OC－OA＝－OA＋OB＝(OB－OA)，∴AC＝AB，∴...
