考点19平面向量的数量积及向量的应用1．平面向量的数量积（1）理解平面向量数量积的含义及其物理意义
（2）了解平面向量的数量积与向量投影的关系
（3）掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算
（4）能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系
2．向量的应用（1）会用向量方法解决某些简单的平面几何问题
（2）会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题
一、平面向量的数量积1．平面向量数量积的概念（1）数量积的概念已知两个非零向量，我们把数量叫做向量与的数量积(或内积)，记作,即，其中θ是与的夹角
【注】零向量与任一向量的数量积为0
（2）投影的概念设非零向量与的夹角是θ，则()叫做向量在方向上(在方向上)的投影
如图（1）（2）（3）所示，分别是非零向量与的夹角为锐角、钝角、直角时向量在方向上的投影的情形，其中，它的意义是，向量在向量方向上的投影长是向量的长度
（3）数量积的几何意义由向量投影的定义，我们可以得到的几何意义：数量积等于的长度与在方向上的投影的乘积
2．平面向量数量积的运算律已知向量和实数,则①交换律：；②数乘结合律：；③分配律：
二、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角及性质设非零向量，是与的夹角
（1）数量积：
（3）夹角：
（4）垂直与平行：；a∥b⇔a·b=±|a||b|
【注】当与同向时,；当与反向时,
（5）性质：|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)⇔
三、平面向量的应用1．向量在平面几何中常见的应用已知
（1）证明线段平行、点共线问题及相似问题，常用向量共线的条件：（2）证明线段垂直问题，如证明四边形是正方形、矩形，判断两直线（或线段）是否垂直等，常用向量垂直的条件：（其中为非零向量）（3）求夹角问题，若向量与的夹角为，利用夹角公式：（其中为非零向量）（4）求线段的长度或说明线段
