第12练等差数列与等比数列【文】一.题型考点对对练1．（等差数列的基本量求解与数学文化）《张丘建算经》是我国南北朝时期的一部重要数学著作，书中系统的介绍了等差数列，同类结果在三百多年后的印度才首次出现.书中有这样一个问题，大意为：某女子善于织布，后一天比前一天织得快，而且每天增加的数量相同，已知第一天织布尺，一个月（按30天计算）总共织布尺，问每天增加的数量为多少尺？该问题的答案为（）A.尺B.尺C.尺D.尺【答案】B2.（等比数列的性质与对数结合）在各项均为正数的等比数列中，若，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】由题意，得，所以，则.故选A.3.（等比数列的基本量求解）【2018届福建省闽侯期中】已知数列为等比数列，且，则的值为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】本题选择D选项.4.（等差数列的性质应用）已知正项等差数列的前项和为，，则的最大值为______．【答案】16【解析】5.（等差数列的通项与求和）已知等差数列的前项和为，且满足.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若，求数列的前项和.，当时，，，当时，，，.6.（等比数列的判定）【2018届广西桂林市第十八中第三次月考】已知是正项数列的前项和，.（1）证明：数列是等差数列；（2）设，求数列的前项和.【解析】（1）当时，有，∴，∴又∵，∴，当时，有，∴，∴∴数列是以为首项，为公差的等差数列（2）由（1）及，得，∴，则，，∴二.易错问题纠错练7.（隐藏条件未挖掘）已知数列是等差数列，满足，下列结论中错误的是（）A.B.最小C.D.【答案】B【注意问题】在求等差数列的前项和的最值时，一定要注意．8.（使用性质不熟练）等差数列中，，则的值为（）A.20B.-20C.10D.-10【答案】D【解析】,所以,选D.【注意问题】对题目中下标数值仔细观察，9.（等比数列性质使用不当至错）已知数列为等比数列，且（为自然对数的底数），数列首项为1，且，则的值为__________．【答案】，因此．【注意问题】由题目中的条件转化为，进而借助“累乘法”求解．10.（限制条件不明确）设等比数列的前项和，在等差数列中.（1）求证：；（2）求数列的前项和.【注意问题】使用等比数列的前项和公式时，要注意公比是否为．三.新题好题好好练11.是公比为的等比数列，是的前项和，且，若正数满足：，则的最小值为（）．A.2B.C.D.【答案】A【解析】若，那么不成立，所以，，解得，即，，代入，，等号成立的条件为，即，所以的最小值为2，故选A.12.等差数列的公差，且，，成等比数列，若，为数列的前项和，则的最大值为（）A.B.C.D.【答案】D13.已知是等差数列的前项和，若，，则__________．【答案】【解析】是等差数列的前项和，是等差数列，设其公差为，，，，故答案为．14.【2018届江苏省常州市期中】在数列中，，，，其中．⑴求证：数列为等差数列；⑵设，，数列的前项和为，若当且为偶数时，恒成立，求实数的取值范围；⑶设数列的前项的和为，试求数列的最大值.【解析】⑴，，数列是公差为1的等差数列；⑵由⑴可知，，故.因为，所以，当且为偶数时，设，则，要使对且为偶数恒成立，只要使对且为偶数恒成立，即使对为正偶数恒成立，，，故实数的取值范围是；⑶由⑴得，，，，设，，，当时，，即，当时，，即，，因此数列的最大值为．15.【2018届江苏省无锡市期中】已知数列满足记数列的前项和为，（1）求证：数列为等比数列，并求其通项；（2）求；（3）问是否存在正整数，使得成立？说明理由.，当为偶数时，可令则；（3）假设存在正整数，使得成立，因为，，所以只要，即只要满足①：，和②：，对于①只要就可以；对于②，当为奇数时，满足，不成立，当为偶数时，满足，即令，因为，即，且当时，，所以当为偶数时，②式成立，即当为偶数时，成立.16.已知数列为公差不为0的等差数列，满足，且成等比数列.（1）求的通项公式；（2）若数列满足，且，求数列的前项和.，对上式也成立，∴，∴，∴.
