第18练立体几何的综合应用【文】一.题型考点对对练1.(异面直线所成的角)矩形中，，，将与沿所在的直线进行随意翻折，在翻折过程中直线与直线成的角范围（包含初始状态）为（）A.B.C.D.【答案】C2.(异面直线所成的角)【广西柳州、南宁2018届第二次联考】在长方体中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为__________.【答案】【解析】如图连接C1D，则C1D∥AB1，∴∠BC1D就是异面直线AB1与BC1所成的角．，AA1=1，在△BC1D中，，，，∴cosBC1D．∴异面直线AB1与A1D所成的角的余弦值为：．4.（立体几何中的综合问题）已知点在直径为的球面上，过点作球的两两垂直的三条弦，若，则的最大值为（）A.B.C.D.3【答案】A5.（立体几何中的综合问题）祖暅是南北朝时代的伟大科学家，5世纪末提出体积计算原理，即祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任何一个平面所截，如果截面面积都相等，那么这两个几何体的体积一定相等．现有以下四个几何体：图①是从圆柱中挖出一个圆锥所得的几何体；图②、图③、图④分别是圆锥、圆台和半球，则满足祖暅原理的两个几何体为（）A.①②B.①③C.①④D.②④【答案】C【解析】设截面与底面的距离为，则①中截面内圆半径为，则截面圆环的面积为；②中截面圆的半径为，则截面圆的面积为；③中截面圆的半径为，则截面圆的面积为；②中截面圆的半径为，则截面圆的面积为，所以①④中截面的面积相等，故选C．6.(立体几何的综合问题)如图所示三棱锥的顶点在平面内,,,若将该三棱锥以为轴转动,到点落到平面内为止,则两点所经过的路程之和是__________.【答案】【解析】如图,取中点,在和中, ,∴,在中,,又,∴,则,∴将该三棱锥以为轴转动,到点落到平面内时,两点所经过的路程都是以为圆心,以为半径的圆周,∴两点所经过的路程之和是,故答案为.7.(立体几何的综合问题)【四川成都双流中学2018届月考】长方体中，,,,点是平面上的点，且满足，当长方体的体积最大时，线段的最小值是()A.B.C.8D.【答案】B8．(立体几何的综合问题)如图1，在矩形中，，是的中点，将沿折起，得到如图2所示的四棱锥，其中平面.（I）证明:；（II）求三棱锥的体积.图1图29．(立体几何的综合问题)【湖北省部分重点中学2018届第一次联考】如图（1）所示，已知四边形是由和直角梯形拼接而成的，其中.且点为线段的中点，，.现将沿进行翻折，使得二面角的大小为90°，得到图形如图（2）所示，连接，点分别在线段上.（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）若三棱锥的体积为四棱锥体积的，求点到平面的距离.【解析】（1）证明：因为二面角的大小为90°，则，又，故平面，又平面，所以；在直角梯形中，，，，所以，又，所以，即；又，故平面，因为平面，故.（2）设点到平面的距离为，因为，且，故，故，做点到平面的距离为.二.易错问题纠错练10.(忽略两异面直线所成角的范围)【2017河南周口3月联考）】四面体中，，，E为AC中点，则异面直线BE与CD所成角的余弦值为__________．【答案】【注意问题】异面直线所成角为锐角或直角.11.（分不清折叠前后的不变量使解题受阻）如图1，平行四边形中，，，现将△沿折起，得到三棱锥(如图2)，且，点为侧棱的中点.（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）求三棱锥的体积；（Ⅲ）在的角平分线上是否存在点，使得∥平面？若存在，求的长；若不存在，请说明理由.（Ⅱ）因为，平面，所以是三棱锥的高，故，又因为，,，所以，所以有.（Ⅲ）解：取中点，连接并延长至点，使，连接，，.因为，所以射线是角的角分线.又因为点是的中点，所以∥，因为平面，平面，所以∥平面.因为、互相平分，故四边形为平行四边形，有∥.又因为，所以有，又因为，故.【注意问题】折叠前后那些量发生变化，那些量不变.12.(不会利用等积法求距离)在四棱锥中，底面为平行四边形，，，，.（Ⅰ）证明：平面；（Ⅱ）求点到平面的距离．∴,∴, 平面,,∴平面．（Ⅱ）由题意可知，平面，则到面的距离等于到面的距离，在中，易求，，且，面，则，即，则，即点到平面的距离为．【注意问题】等体积法求距离所满足的条件.三.新题好题好好练13.【湖北武汉市2018届模拟】如图，...
