第21练圆锥曲线的综合应用【理】一.题型考点对对练1.(直线与圆锥曲线的位置关系)【黑龙江省齐齐哈尔2018届模拟】已知椭圆，过椭圆的左焦点的直线交椭圆于两点，其中点是椭圆的上顶点，椭圆的左顶点为，直线分别与直线相交于两点.则（）A.B.C.D.【答案】B本题选择B选项.2.(圆锥曲线中的范围、最值问题)已知双曲线右焦点为F，P为双曲线左支上一点，点,则周长的最小值为A.（B）C.（D）【答案】A3.(圆锥曲线中的定值、定点、存在性问题)如图，为椭圆长轴的左、右端点，为坐标原点，为椭圆上不同于的三点，直线围成一个平行四边形，则（）A.14B.12C.9D.7【答案】A【解析】设，斜率分别为，则的斜率为，且，所以，同理，因此.故选A．4.(轨迹与轨迹方程)已知点，直线，直线垂直于点，线段的垂直平分线交于点.（1）求点的轨迹的方程；（2）已知点，过且与轴不垂直的直线交于两点，直线分别交于点，求证：以为直径的圆必过定点.（2）由题意可设直线，代入，得，设，则；又，设直线的斜率分别为，则，设，令，得，同理，得，从而；.又以为直径的圆的方程为：，即，即，令，解得或，从而以为直径的圆恒过定点和.5.(直线与圆锥曲线的位置关系)【2018届南京市联考】已知椭圆：的右焦点为，过作直线（不过原点）交椭圆于两点，若的中点为，直线交椭圆的右准线于（1）若直线垂直轴时，，求椭圆的离心率；（2）若椭圆的离心率，当直线斜率存在时设为，直线的斜率设为，试求的值。6.(圆锥曲线中的范围、最值问题)如图，在平面直角坐标系中，椭圆：的离心率为，直线l：y＝2上的点和椭圆上的点的距离的最小值为1．(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)已知椭圆的上顶点为A，点B，C是上的不同于A的两点，且点B，C关于原点对称，直线AB，AC分别交直线l于点E，F．记直线与的斜率分别为，．①求证：为定值；②求△CEF的面积的最小值.证法二：直线AC的方程为，由得，解得，同理，因为B，O，C三点共线，则由，整理得，所以．②直线AC的方程为，直线AB的方程为，不妨设，则，令y＝2，得，而，所以，△CEF的面积．由得，则，当且仅当取得等号，所以△CEF的面积的最小值为．7.(圆锥曲线中的范围、最值问题)如图，过椭圆：的左右焦点分别作直线，交椭圆于与，且.（1）求证：当直线的斜率与直线的斜率都存在时，为定值；（2）求四边形面积的最大值.（2）当的倾斜角为时，与重合，舍去.当的倾斜角不为0时，由对称性得四边形为平行四边形，，设直线的方程为，代入，得.显然，，.所以，设，所以，.所以.当且仅当即时等号成立，所以.所以平行四边形面积的最大值为.8.(圆锥曲线中的定值、定点、存在性问题)已知的顶点，点在轴上移动，，且的中点在轴上．（Ⅰ）求点的轨迹的方程；（Ⅱ）已知过的直线交轨迹于不同两点，，求证：与，两点连线，的斜率之积为定值．由得，所以，，，同理，，所以与，两点连线的斜率之积为定值4．9.(圆锥曲线中的定值、定点、存在性问题)【江苏省如东2018届期中】已知椭圆的离心率为，其左、右焦点分别为，点是坐标平面内一点，且，（为坐标原点）.（1）求椭圆的方程；（2）过点且斜率为的动直线交椭圆于两点，在轴上是否存在定点，使以为直径的圆恒过该点？若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由.【解析】（1）设，，，则由，得；由得，即.所以.又因为，所以.因此所求椭圆的方程为：.（2）设动直线的方程为：，由得.设，，则，.假设在轴上是否存在定点，满足题设，则，.，由假设得对于任意的，恒成立，即解得.因此，在轴上存在定点，使以为直径的圆恒过该点，点的坐标为.二.易错问题纠错练10.（忽略轨迹的纯粹性）如图，抛物线：与圆：相交于，两点，且点的横坐标为.过劣弧上动点作圆的切线交抛物线于，两点，分别以，为切点作抛物线的切线，，与相交于点.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求动点的轨迹方程.【解析】（Ⅰ）由点的横坐标为，可得点的坐标为，代入，解得（Ⅱ）利用直线与圆锥曲线的位置关系，可知方程为，其中，满足，，再利用中点公式，可知满足，代入得，考虑到，知，动点的轨迹方程为，．【注意问题】求出轨迹方程后注意范围，不符合的点．11.（忽略对直线斜率不存在的情况）已知动圆...
