2015年北京市东城区高考数学一模试卷（文科）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．在复平面内，复数z=1﹣2i对应的点的坐标为（）A．（1，2）B．（2，1）C．（1，﹣2）D．（2，﹣1）2．双曲线的渐近线方程为（）A．y=±B．y=±xC．y=±2xD．y=±4x3．记函数f（x）的导函数为f′（x），若f（x）对应的曲线在点（x0，f（x0））处的切线方程为y=﹣x+1，则（）A．f′（x0）=2B．f′（x0）=1C．f′（x0）=0D．f′（x0）=﹣14．已知命题p：直线a，b不相交，命题q：直线a，b为异面直线，则p是q的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．在区间[0，2]上随机取一个实数x，则事件“3x﹣1＜0”发生的概率为（）A．B．C．D．6．执行如图所示的程序框图，若输出的b的值为4，则图中判断框内①处应填（）A．2B．3C．4D．57．设集合，则下列命题中正确的是（）A．∀（x，y）∈D，x﹣2y≤0B．∀（x，y）∈D，x+2y≥﹣2C．∀（x，y）∈D，x≥2D．∃（x，y）∈D，y≤﹣18．某学校餐厅每天供应500名学生用餐，每星期一有A，B两种菜可供选择．调查资料表明，凡是在星期一选A种菜的学生，下星期一会有20%改选B种菜；而选B种菜的学生，下星期一会有30%改选A种菜．用an，bn分别表示在第n个星期的星期一选A种菜和选B种菜的学生人数，若a1=300，则an+1与an的关系可以表示为（）A．an+1=+150B．an+1=+200C．an+1=+300D．an+1=+180二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．已知集合A={1}，B={﹣1，2m﹣1}，若A⊊B，则实数m的值为．10．把函数的图象向右平移个单位，所得到的图象的函数解析式为．11．在矩形ABCD中，=（1，﹣3），，则实数k=．12．已知函数f（x）的对应关系如表所示，数列{an}满足a1=3，an+1=f（an），则a4=，a2015=．x123f（x）32113．函数f（x）是定义在R上的偶函数，且满足f（x+2）=f（x）．当x∈[0，1]时，f（x）=2x．若在区间[﹣2，3]上方程ax+2a﹣f（x）=0恰有四个不相等的实数根，则实数a的取值范围是．14．C是曲线y=（﹣1≤x≤0）上一点，CD垂直于y轴，D是垂足，点A的坐标是（﹣1，0）．设∠CAO=θ（其中O表示原点），将AC+CD表示成关于θ的函数f（θ），则f（θ）=，f（θ）的最大值为．三、解答题（共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）15．下面的茎叶图记录了甲、乙两组各5名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的中位数为13，乙组数据的平均数是16.8．（Ⅰ）求x，y的值；（Ⅱ）从成绩不低于10分且不超过20分的学生中任意抽取3名，求恰有2名学生在乙组的概率．16．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，且满足sinA+cosA=2．（1）求A的大小；（2）现给出三个条件：①a=2；②B=45°；③c=b．试从中选出两个可以确定△ABC的条件，写出你的选择并以此为依据求△ABC的面积（只需写出一个选定方案即可，选多种方案以第一种方案记分）．17．如图甲，⊙O的直径AB=2，圆上两点C，D在直径AB的两侧，且∠CBA=∠DAB=．沿直径AB折起，使两个半圆所在的平面互相垂直（如图乙），F为BC的中点，E为AO的中点．根据图乙解答下列各题：（Ⅰ）求证：CB⊥DE；（Ⅱ）求三棱锥C﹣BOD的体积；（Ⅲ）在劣弧上是否存在一点G，使得FG∥平面ACD？若存在，试确定点G的位置；若不存在，请说明理由．18．已知x=1是的一个极值点（Ⅰ）求b的值；（Ⅱ）求函数f（x）的单调减区间；（Ⅲ）设g（x）=f（x）﹣，试问过点（2，5）可作多少条直线与曲线y=g（x）相切？请说明理由．19．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，M为椭圆上任意一点且△MF1F2的周长等于6．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）以M为圆心，MF1为半径作圆M，当圆M与直线l：x=4有公共点时，求△MF1F2面积的最大值．20．已知等差数列{an}中，a1=5，7a2=4a4，数列{bn}前n项和为Sn，且Sn=2（bn﹣1）（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{an}和{bn}的通项公式；（Ⅱ）设数列，求{cn}的前n项和Tn；（Ⅲ）把数列{an}和{bn}的公共项从小到大排成新数列{dn}，试写出d1，d2，并证明{dn}为等...
