星期五(综合限时练)2017年____月____日解答题综合练(设计意图：训练考生在规定时间内得高分，限时：80分钟)1.(本小题满分14分)设数列{an}的前n项之积为Tn，且log2Tn＝，n∈N*.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝λan－1(n∈N*)，数列{bn}的前n项之和为Sn，若对任意的n∈N*，总有Sn＋1＞Sn，求实数λ的取值范围.解(1)由log2Tn＝，n∈N*，得Tn＝2，所以Tn－1＝2(n∈N*，n≥2)，所以an＝＝＝2－＝2n－1，n∈N*，n≥2.又a1＝T1＝20＝1，适合上式，所以an＝2n－1，n∈N*.(2)由bn＝λan－1＝λ2n－1－1，得Sn＝λ·－n＝(2n－1)λ－n.所以Sn＋1＞Sn⇔(2n＋1－1)λ－(n＋1)＞(2n－1)λ－n⇔2nλ＞1⇔λ＞.因为对任意的n∈N*，≤，故所求的λ取值范围是.2.(本小题满分15分)如图，已知空间四边形ABCD在平面α上的射影是梯形FBCE，BC∥EF，BC⊥BF，BC＝2EF＝2AF＝4DE.又平面ABC与平面α所成的二面角的大小为45°.(1)求异面直线AB与CD所成角的大小；(2)设直线BD交平面AFC于点O，求比值.解(1)如图，以点F为原点，FB，FE，FA分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系.因为AF⊥平面FBCE，BC⊥BF，所以BC⊥AB，所以∠ABF就是平面ABC与平面α所成的二面角的平面角，所以∠ABF＝45°，从而|AF|＝|BF|.令|DE|＝a，则|AF|＝|EF|＝|BF|＝2a，|BC|＝4a，A(0，0，2a)，B(2a，0，0)，C(2a，4a，0)，D(0，2a，a).所以AB＝(2a，0，－2a)，CD＝(－2a，－2a，a)，cos〈AB，CD〉＝＝－.所以〈AB，CD〉＝135°，故异面直线AB与CD所成角的大小为45°.(2)连接BE、CF交于点G，再连接OG.因为DE∥AF，DE⊄平面AFC，AF⊂平面AFC，所以DE∥平面AFC.又平面BDE∩平面AFC＝OG，所以OG∥DE，所以＝.由△EFG∽△BCG，得＝＝，所以＝＝2.3.(本小题满分15分)某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学.在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院.现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同).(1)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；(2)设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列和数学期望.解(1)设“选出的3名同学是来自互不相同的学院”为事件A，则P(A)＝＝.所以选出的3名同学是来自互不相同的学院的概率为.(2)随机变量X的所有可能值为0，1，2，3.P(X＝k)＝(k＝0，1，2，3).所以随机变量X的分布列是X0123P随机变量X的数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.4.(本小题满分15分)如图，椭圆＋＝1(a＞b＞0)的上顶点为A，左顶点为B，F为右焦点，过F作平行于AB的直线交椭圆于C、D两点，作平行四边形OCED，点E恰在椭圆上.(1)求椭圆的离心率；(2)若平行四边形OCED的面积为2，求椭圆的方程.解(1) 焦点为F(c，0)，AB的斜率为，故直线CD的方程为y＝(x－c).与椭圆方程联立后消去y得到2x2－2cx－b2＝0. CD的中点为G，点E在椭圆上.∴将E的坐标代入椭圆方程并整理得2c2＝a2，∴离心率e＝＝.(2)由(1)知＝，b＝c，则直线CD的方程为y＝(x－c)，与椭圆方程联立消去y得到2x2－2cx－c2＝0. 平行四边形OCED的面积为S＝c|yC－yD|＝c＝c＝c2＝2，所以c＝2，b＝2，a＝2.故椭圆方程为＋＝1.5.(本小题满分15分)设函数f(x)＝x2＋(2m－3)x＋lnx(m∈R).(1)讨论函数f(x)在定义域上的单调性；(2)若对任意的x∈(1，2)，总有f(x)＜－2，求m的取值范围.解(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝x＋2m－3＋＝.令x2＋(2m－3)x＋1＝0，则Δ＝(2m－3)2－4＝(2m－1)(2m－5).①当≤m≤时，Δ≤0，所以x2＋(2m－3)x＋1≥0，从而f′(x)≥0；②当m＞时，因为x＞0，所以x2＋(2m－3)x＋1＞x2＋x＋1＝x2＋2x＋1＞0，所以f′(x)＞0；③当m＜时，Δ＞0，方程x2＋(2m－3)x＋1＝0有两个不相等的实数根x1，x2(不妨设x1＜x2).因为x1＋x2＝3－2m＞3－2×＝2＞0，x1x2＝1＞0，所以x1＞0，x2＞0，所以当x1＜x＜x2时，x2＋(2m－3)x＋1＜0，从而f′(x)＜0；当0＜x＜x1或x＞x2时，x2＋(2m－3)x＋1＞0，从而f′(x)＞0.综上可知，当m≥时，函数f(x)在定义域(0，＋∞)上单调递增；当m＜时，函数f(x)在区间(0，x1)和(x2，＋∞)上单调递增，在区间(x1，x2)上单调递减，其中x1＝，x2...
