星期一(三角与数列)2017年____月____日1.三角(命题意图：考查正、余弦定理、面积公式及三角恒等变换)(本小题满分14分)已知△ABC的三个内角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，且满足＝.(1)若b＝4，求a；(2)若c＝3，△ABC的面积为3，求证：3sinC＋4cosC＝5.(1)解由＝得＝.∴2sinA＝sinAcosC＋sinCcosA＝sinB，即2a＝b，∵b＝4，∴a＝2.(2)证明∵△ABC的面积为3，∴absinC＝a2sinC＝3，①∵c＝3，∴a2＋4a2－4a2cosC＝9，②由①②消去a2得3sinC＝5－4cosC，即3sinC＋4cosC＝5.2.数列(命题意图：考查等差、等比数列的基本运算及求和)(本小题满分15分)已知数列{an}是首项a1＝1的等差数列，其前n项和为Sn，数列{bn}是首项b1＝2的等比数列，且b2S2＝16，b1b3＝b4.(1)求an和bn；(2)令c1＝1，c2k＝a2k－1，c2k＋1＝a2k＋kbk(k＝1，2，3…)，求数列{cn}的前2n＋1项和T2n＋1.解(1)设数列{an}的公差为d，数列{bn}的公比为q，则an＝1＋(n－1)d，bn＝2qn－1.由b1b3＝b4，得q＝＝b1＝2.由b2S2＝2q(2＋d)＝16，解得d＝2，∴an＝2n－1，bn＝2n.(2)∵T2n＋1＝c1＋a1＋(a2＋b1)＋a3＋(a4＋2·b2)＋…＋a2n－1＋(a2n＋nbn)＝1＋S2n＋(b1＋2b2＋…＋nbn).令A＝b1＋2b2＋…＋nbn，则A＝2＋2·22＋…＋n·2n，∴2A＝22＋2·23＋…＋n·2n＋1，两式相减，得－A＝2＋22＋…＋2n－n·2n＋1，∴A＝n·2n＋1－2n＋1＋2.又S2n＝＝4n2，∴T2n＋1＝1＋4n2＋n·2n＋1－2n＋1＋2＝3＋4n2＋(n－1)·2n＋1.
