专题二三角函数与平面向量第2讲三角恒等变换与解三角形练习一、选择题1.已知α∈R，sinα＋2cosα＝，则tan2α等于()A.B.C.－D.－解析∵sinα＋2cosα＝，∴sin2α＋4sinα·cosα＋4cos2α＝.用降幂公式化简得4sin2α＝－3cos2α，∴tan2α＝＝－.故选C.答案C2.(2016·宁波二模)已知锐角△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，23cos2A＋cos2A＝0，a＝7，c＝6，则b＝()A.10B.9C.8D.5解析化简23cos2A＋cos2A＝0，得23cos2A＋2cos2A－1＝0，又角A为锐角，解得cosA＝，由a2＝b2＋c2－2bccosA，得b＝5.答案D3.(2016·全国Ⅲ卷)在△ABC中，B＝，BC边上的高等于BC，则cosA＝()A.B.C.－D.－解析设BC边上的高AD交BC于点D，由题意B＝，BD＝BC，DC＝BC，tan∠BAD＝1，tan∠CAD＝2，tanA＝＝－3，所以cosA＝－.答案C4.(2014·新课标全国Ⅰ卷)设α∈，β∈，且tanα＝，则()A.3α－β＝B.2α－β＝C.3α＋β＝D.2α＋β＝解析由tanα＝得＝，即sinαcosβ＝cosα＋cosαsinβ，∴sin(α－β)＝cosα＝sin.∵α∈，β∈，∴α－β∈，－α∈，∴由sin(α－β)＝sin，得α－β＝－α，∴2α－β＝.答案B5.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若c2＝(a－b)2＋6，C＝，则△ABC的面积是()A.3B.C.D.3解析c2＝(a－b)2＋6，即c2＝a2＋b2－2ab＋6①.∵C＝，由余弦定理得c2＝a2＋b2－ab②，由①和②得ab＝6，∴S△ABC＝absinC＝×6×＝，故选C.答案C二、填空题6.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为3，b－c＝2，cosA＝－，则a的值为________.解析∵cosA＝－，0＜A＜π，∴sinA＝，S△ABC＝bcsinA＝bc×＝3，∴bc＝24，又b－c＝2，∴b2－2bc＋c2＝4，b2＋c2＝52，由余弦定理得，a2＝b2＋c2－2bccosA＝52－2×24×＝64，∴a＝8.答案87.如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝________m.解析在△ABC中，AB＝600，∠BAC＝30°，∠ACB＝75°－30°＝45°，由正弦定理得＝，即＝，所以BC＝300.在Rt△BCD中，∠CBD＝30°，CD＝BCtan∠CBD＝300·tan30°＝100.答案1008.(2016·杭州模拟)若△ABC的内角满足sinA＋sinB＝2sinC，则cosC的最小值是________.解析∵sinA＋sinB＝2sinC.由正弦定理可得a＋b＝2c，即c＝，cosC＝＝＝≥＝，当且仅当3a2＝2b2即＝时等号成立.∴cosC的最小值为.答案三、解答题9.(2016·北京卷)在△ABC中，a2＋c2＝b2＋ac.(1)求角B的大小；(2)求cosA＋cosC的最大值.解(1)由a2＋c2＝b2＋ac得a2＋c2－b2＝ac.由余弦定理得cosB＝＝＝.又0＜B＜π，所以B＝.(2)A＋C＝π－B＝π－＝，所以C＝－A，0＜A＜.所以cosA＋cosC＝cosA＋cos＝cosA＋coscosA＋sinsinA＝cosA－cosA＋sinA＝sinA＋cosA＝sin，∵0＜A＜，∴＜A＋＜π，故当A＋＝，即A＝时，cosA＋cosC取得最大值为1.10.在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c.已知cos2A－3cos(B＋C)＝1.(1)求角A的大小；(2)若△ABC的面积S＝5，b＝5，求sinBsinC的值.解(1)由cos2A－3cos(B＋C)＝1，得2cos2A＋3cosA－2＝0，即(2cosA－1)(cosA＋2)＝0，解得cosA＝或cosA＝－2(舍去)，因为0＜A＜π，所以A＝.(2)由S＝bcsinA＝bc·＝bc＝5，得bc＝20，又b＝5，知c＝4，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA＝25＋16－20＝21，故a＝.又由正弦定理得sinBsinC＝sinA·sinA＝sin2A＝×＝.11.(2015·山东卷)设f(x)＝sinxcosx－cos2.(1)求f(x)的单调区间；(2)在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若f＝0，a＝1，求△ABC面积的最大值.解(1)由题意知f(x)＝－＝－＝sin2x－.由－＋2kπ≤2x≤＋2kπ，k∈Z,可得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z；由＋2kπ≤2x≤＋2kπ，k∈Z，可得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.所以f(x)的单调递增区间是(k∈Z)；单调递减区间是(k∈Z).(2)由f＝sinA－＝0，得sinA＝，由题意知A为锐角，所以cosA＝.由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，可得1＋bc＝b2＋c2≥2bc，即bc≤2＋，当且仅当b＝c时等号成立.因此bcsinA≤.所以△ABC面积的最大值为.
