星期六(解答题综合练)2017年____月____日1.在△ABC中，角A，B的对边分别为a，b，向量m＝(cosA，sinB)，n＝(cosB，sinA).(1)若acosA＝bcosB，求证：m∥n；(2)若m⊥n，a＞b，求tan的值.(1)证明因为acosA＝bcosB，所以sinAcosA＝sinBcosB，所以m∥n.(2)解因为m⊥n，所以cosAcosB＋sinAsinB＝0，即cos(A－B)＝0，因为a＞b，所以A＞B，又A，B∈(0，π)，所以A－B∈(0，π)，则A－B＝，所以tan＝tan＝1.2.如图，在三棱锥P－ABC中，∠PAC＝∠BAC＝90°，PA＝PB，点D，F分别为BC，AB的中点.(1)求证：直线DF∥平面PAC；(2)求证：PF⊥AD.证明(1)因为点D，F分别为BC，AB的中点，所以DF∥AC，又因为DF⊄平面PAC，AC⊂平面PAC，所以直线DF∥平面PAC.(2)因为∠PAC＝∠BAC＝90°，所以AC⊥AB，AC⊥AP，又因为AB∩AP＝A，所以AC⊥平面PAB，因为PF⊂平面PAB，所以AC⊥PF，因为PA＝PB，F为AB的中点，所以PF⊥AB，因为AC∩AB＝A，所以PF⊥平面ABC，因为AD⊂平面ABC，所以AD⊥PF.3.某商场对A品牌的商品进行了市场调查，预计2015年从1月起前x个月顾客对A品牌的商品的需求总量P(x)件与月份x的近似关系是：P(x)＝x(x＋1)(41－2x)(x≤12且x∈N*).(1)写出第x月的需求量f(x)的表达式；(2)若第x月的销售量g(x)＝(单位：件)，每件利润q(x)元与月份x的近似关系为：q(x)＝，问：该商场销售A品牌商品，预计第几月的月利润达到最大值？月利润最大值是多少？(e6≈403)解(1)当x＝1时，f(1)＝P(1)＝39.当x≥2时，f(x)＝P(x)－P(x－1)＝x(x＋1)(41－2x)－(x－1)x(43－2x)＝3x(14－x).由于x＝1适合上式，∴f(x)＝－3x2＋42x(x≤12，x∈N*).(2)设月利润为h(x)，h(x)＝q(x)·g(x)＝h′(x)＝ 当1≤x≤6时，h′(x)≥0，当6＜x＜7时，h′(x)＜0，∴当1≤x＜7且x∈N*时，h(x)max＝30e6≈12090， 当7≤x≤8时，h′(x)≥0，当8≤x≤12时，h′(x)≤0，∴当7≤x≤12且x∈N*时，h(x)max＝h(8)≈2987.综上，预计该商场第6个月的月利润达到最大，最大月利润约为12090元.4.如图，椭圆＋＝1(a＞b＞0)的上，下两个顶点为A，B，直线l：y＝－2，点P是椭圆上异于点A，B的任意一点，连接AP并延长交直线l于点N，连接PB并延长交直线l于点M，设AP所在的直线的斜率为k1，BP所在的直线的斜率为k2.若椭圆的离心率为，且过点A(0，1).(1)求k1·k2的值；(2)求MN的最小值；(3)随着点P的变化，以MN为直径的圆是否恒过定点？若过定点，求出该定点；如不过定点，请说明理由.解(1)因为e＝＝，b＝1，a2＝b2＋c2，解得a＝2，所以椭圆C的标准方程为＋y2＝1.设椭圆上点P(x0，y0)，有＋y＝1，所以k1·k2＝·＝＝－.(2)因为M，N在直线l：y＝－2上，设M(x1，－2)，N(x2，－2)，由方程知＋y2＝1知，A(0，1)，B(0，－1)，所以kBM·kAN＝·＝，又由(1)知kAN·kBM＝k1·k2＝－，所以x1x2＝－12，不妨设x1＜0，则x2＞0，则MN＝|x1－x2|＝x2－x1＝x2＋≥2＝4，所以当且仅当x2＝－x1＝2时，MN取得最小值4.(3)设M(x1，－2)，N(x2，－2)，则以MN为直径的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y＋2)2＝0，即x2＋(y＋2)2－12－(x1＋x2)x＝0，若圆过定点，则有x＝0，x2＋(y＋2)2－12＝0，解得x＝0，y＝－2±2，所以，无论点P如何变化，以MN为直径的圆恒过定点(0，－2±2).5.已知函数f(x)＝－x3＋x2，g(x)＝alnx，a∈R.(1)若对任意x∈[1，e]，都有g(x)≥－x2＋(a＋2)x恒成立，求a的取值范围；(2)设F(x)＝若P是曲线y＝F(x)上异于原点O的任意一点，在曲线y＝F(x)上总存在另一点Q，使得△POQ中的∠POQ为钝角，且PQ的中点在y轴上，求a的取值范围.解(1)由g(x)≥－x2＋(a＋2)x，得(x－lnx)a≤x2－2x.由于x∈[1，e]，lnx≤1≤x，且等号不能同时取得，所以lnx＜x，x－lnx＞0.从而a≤恒成立，a≤.设t(x)＝，x∈[1，e].求导，得t′(x)＝.x∈[1，e]，x－1≥0，lnx≤1，x＋2－2lnx＞0，从而t′(x)≥0，t(x)在[1，e]上为增函数.所以t(x)min＝t(1)＝－1，所以a的取值范围是(－∞，－1].(2)F(x)＝设P(t，F(t))为曲线y＝F(x)上的任意一点.假设曲线y＝F(x)上存在一点Q(－t，F(－t))，使∠POQ为钝角，则OP·OQ＜0.①若t≤－1，P(t，－t3＋t2)，Q(－t，aln(－t))，OP·OQ＝－t2＋aln(－t)·(－t3＋t2).由于O...
