星期六(解答题综合练)2017年____月____日1.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c＝2，C＝60°.(1)求的值；(2)若a＋b＝ab，求△ABC的面积.解(1)由正弦定理可设＝＝＝＝＝，所以a＝sinA，b＝sinB，所以＝＝.(2)由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC，即4＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab，又a＋b＝ab，所以(ab)2－3ab－4＝0.解得ab＝4或ab＝－1(舍去).所以S△ABC＝absinC＝×4×＝.2.如图，已知直三棱柱ABC－A1B1C1的侧面ACC1A1是正方形，点O是侧面ACC1A1的中心，∠ACB＝，点M是棱BC的中点.(1)求证：OM∥平面ABB1A1；(2)求证：平面ABC1⊥平面A1BC.证明(1)在△A1BC中，因为点O是A1C的中点，点M是BC的中点，所以OM∥A1B.又OM⊄平面ABB1A1，A1B⊂平面ABB1A1，所以OM∥平面ABB1A1.(2)因为ABC－A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC，又BC⊂平面ABC，所以CC1⊥BC.又∠ACB＝，即BC⊥AC，且CC1，AC⊂平面ACC1A1，CC1∩AC＝C，所以BC⊥平面ACC1A1.又AC1⊂平面ACC1A1，所以BC⊥AC1.又在正方形ACC1A1中，A1C⊥AC1，且BC，A1C⊂平面A1BC，BC∩A1C＝C，所以AC1⊥平面A1BC.又AC1⊂平面ABC1，所以平面ABC1⊥平面A1BC.3.某运输装置如图所示，其中钢结构ABD是一个AB＝BD＝l，∠B＝的固定装置，AB上可滑动的点C使CD垂直于底面(C不与A，B重合)，且CD可伸缩(当CD伸缩时，装置ABD随之绕D在同一平面内旋转)，利用该运输装置可以将货物从地面D处沿D→C→A运送至A处，货物从D处至C处运行速度为v，从C处至A处运行速度为3v，为了使运送货物的时间t最短，需在运送前调整运输装置中∠DCB＝θ的大小.(1)当θ变化时，试将货物运行的时间t表示成θ的函数(用含有v和l的式子)；(2)当t最小时，C点应设计在AB的什么位置？解(1)在△BCD中， ∠BCD＝θ，∠B＝，BD＝l，∴BC＝，CD＝，∴AC＝AB－BC＝l－，则t＝＋＝－＋.(2)t＝＋＝＋·.令m(θ)＝，则m′(θ)＝，令m′(θ)＝0得cosθ＝.设cosθ0＝，θ0∈，则θ∈时，m′(θ)＜0；θ∈时，m′(θ)＞0，∴当cosθ＝时，m(θ)有最小值2，此时BC＝l.答：当BC＝l时货物运行时间最短.4.如图，已知椭圆C：＋y2＝1，A、B是四条直线x＝±2，y＝±1所围成矩形的两个顶点.(1)设P是椭圆C上任意一点，若OP＝mOA＋nOB，求证：动点Q(m，n)在定圆上运动，并求出定圆的方程；(2)若M、N是椭圆C上两个动点，且直线OM、ON的斜率之积等于直线OA、OB的斜率之积，试探求△OMN的面积是否为定值，说明理由.(1)证明易求A(2，1)，B(－2，1).设P(x0，y0)，则＋y＝1.由OP＝mOA＋nOB，得所以＋(m＋n)2＝1，即m2＋n2＝.故点Q(m，n)在定圆x2＋y2＝上.(2)解设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则＝kOA·kOB＝－.平方得xx＝16yy＝(4－x)(4－x)，即x＋x＝4.因为直线MN的方程为(x2－x1)y－(y2－y1)x＋x1y2－x2y1＝0，所以O到直线MN的距离为d＝＝，所以△OMN的面积S＝MN·d＝|x1y2－x2y1|＝＝＝＝1.故△OMN的面积为定值1.5.已知函数f(x)＝在x＝0处的切线方程为y＝x.(1)求实数a的值；(2)若对任意的x∈(0，2)，都有f(x)＜成立，求实数k的取值范围；(3)若函数g(x)＝lnf(x)－b的两个零点为x1，x2，试判断g′的正负，并说明理由.解(1)由题意得f′(x)＝，因为函数在x＝0处的切线方程为y＝x，所以f′(0)＝1，解得a＝1.(2)由题知f(x)＝＜对任意x∈(0，2)都成立，所以k＋2x－x2＞0，即k＞x2－2x对任意x∈(0，2)都成立，从而k≥0.不等式整理可得k＜＋x2－2x,令g(x)＝＋x2－2x，所以g′(x)＝＋2(x－1)＝(x－1)＝0，解得x＝1，当x∈(1，2)时，g′(x)＞0，函数g(x)在(1，2)上单调递增，同理可得函数g(x)在(0，1)上单调递减，所以k＜g(x)min＝g(1)＝e－1，综上所述，实数k的取值范围是[0，e－1).(3)结论是g′＜0，理由如下：由题意得函数g(x)＝lnf(x)－b＝lnx－x－b，所以g′(x)＝－1＝，易得函数g(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，所以要证g′＜0，只需证明＞1即可.因为x1，x2是函数g(x)的两个零点，所以相减得x2－x1＝ln，不妨令＝t＞1,则x2＝tx1，则tx1－x1＝lnt，所以x1＝lnt，x2＝lnt，即证lnt＞2，即证φ(t)＝lnt－2·＞0，因为φ′(t)＝－＝＞0，所以φ(t)在(1，＋∞)上单调递增，所以φ(t)＞φ(1)＝0，综上所述，函...
