星期六(解答题综合练)2017年____月____日1.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，设向量m＝(a，c)，n＝2.(cosC，cosA).(1)若m∥n，c＝a，求角A；(2)若m·n＝3bsinB，cosA＝，求cosC的值.解(1) m∥n，∴acosA＝ccosC.由正弦定理得sinAcosA＝sinCcosC，化简得sin2A＝sin2C. A，C∈(0，π)，∴2A＝2C(舍)或2A＋2C＝π，∴A＋C＝，∴B＝，在Rt△ABC中，tanA＝＝，A＝.(2) m·n＝3bcosB，∴acosC＋ccosA＝3bsinB.由正弦定理得sinAcosC＋sinCcosA＝3sin2B，从而sin(A＋C)＝3sin2B. A＋B＋C＝π，∴sin(A＋C)＝sinB，且sinB≠0，从而sinB＝， cosA＝>0，A∈(0，π)，∴A∈，sinA＝. sinA>sinB，∴a>b，从而A>B，B为锐角，cosB＝.∴cosC＝－cos(A＋B)＝－cosAcosB＋sinAsinB＝－×＋×＝.2.如图，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，点E是A1C1的中点.求证：(1)BE⊥AC；(2)BE∥平面ACD1.证明(1)如图，连接BD交AC于点F，由于E是A1C1的中点，则连接B1D1交A1C1于点E.因为四边形ABCD是菱形，所以BD⊥AC.因为ABCD－A1B1C1D1为直四棱柱，所以BB1⊥平面ABCD，又AC⊂平面ABCD，所以BB1⊥AC.又BD∩BB1＝B，BD⊂平面B1BDD1，BB1⊂平面B1BDD1，所以AC⊥平面B1BDD1.而BE⊂平面B1BDD1，所以BE⊥AC.(2)如图，连接D1F，因为四棱柱ABCD－A1B1C1D1为直四棱柱，所以四边形B1BDD1为矩形.又E，F分别是B1D1，BD的中点，所以BF＝D1E，且BF∥D1E.所以四边形BED1F是平行四边形.所以BE∥D1F.又D1F⊂平面ACD1，BE⊄平面ACD1，所以BE∥平面ACD1.3.若两个椭圆的离心率相等，则称它们为“相似椭圆”.如图，在直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：＋＝1，A1，A2分别为椭圆C1的左、右顶点.椭圆C2以线段A1A2为短轴且与椭圆C1为“相似椭圆”.(1)求椭圆C2的方程；(2)设P为椭圆C2上异于A1，A2的任意一点，过P作PQ⊥x轴，垂足为Q，线段PQ交椭圆C1于点H.求证：H为△PA1A2的垂心.(垂心为三角形三条高的交点)(1)解由题意可知A1(－，0)，A2(，0)，椭圆C1的离心率e＝.设椭圆C2的方程为＋＝1(a＞b＞0)，则b＝.因为＝＝，所以a＝2.所以椭圆C2的方程为＋＝1.(2)证明设P(x0，y0)，y0≠0，则＋＝1，从而y＝12－2x.将x＝x0代入＋＝1得＋＝1，从而y2＝3－＝，即y＝±.因为P，H在x轴的同侧，所以取y＝，即H(x0，).所以kA1P·kA2H＝·＝＝＝－1，从而A1P⊥A2H.又因为PH⊥A1A2，所以H为△PA1A2的垂心.4.图1是一段半圆柱形水渠的直观图，其横断面如图2所示，其中C为半圆弧ACB的中点，渠宽AB为2米.(1)当渠中水深CD为0.4米时，求水面的宽度；(2)若把这条水渠改挖(不准填土)成横断面为等腰梯形的水渠，且使渠的底面与地面平行，则当改挖后的水渠底宽为多少时，所挖出的土量最少？解(1)以AB所在的直线为x轴，AB的中垂线为y轴，建立如图所示的直角坐标系xOy，因为AB＝2米，所以半圆的半径为1米，则半圆的方程为x2＋y2＝1(－1≤x≤1，y≤0).因为水深CD＝0.4米，所以OD＝0.6米，在Rt△ODM中，DM＝＝＝0.8米.所以MN＝2DM＝1.6米，故沟中水面宽为1.6米.(2)为使挖掉的土最少，等腰梯形的两腰必须与半圆相切，设切点P(cosθ，sinθ)是圆弧BC上的一点，过点P作半圆的切线得如图所示的直角梯形OCFE，得切线EF的方程为xcosθ＋ysinθ＝1.令y＝0，得E，令y＝－1，得F.设直角梯形OCFE的面积为S.则S＝＝＝.S′＝＝，令S′＝0，解得θ＝－.当－＜θ＜－时，S′＜0，函数单调递减；当－＜θ＜0时，S′＞0，函数单调递增.所以θ＝－时，面积S取得最小值，最小值为，此时CF＝＝，即当渠底宽为米时，所挖的土最少.5.已知无穷数列{an}的各项均为正整数，Sn为数列{an}的前n项和.(1)若数列{an}是等差数列，且对任意正整数n都有Sn3＝(Sn)3成立，求数列{an}的通项公式；(2)对任意正整数n，从集合{a1，a2，…，an}中不重复地任取若干个数，这些数之间经过加减运算后所得数的绝对值为互不相同的正整数，且这些正整数与a1，a2，…，an一起恰好是1至Sn全体正整数组成的集合.(ⅰ)求a1，a2的值；(ⅱ)求数列{an}的通项公式.解(1)设无穷等差数列{an}的公差为d，因为Sn3＝(Sn)3对任意正整数n都成立，所以分别取n＝1，n＝2时，则有：因为数列{an}的各项均为正整数，所以d...
