课时作业(三十八)直接证明和间接证明A级1．用分析法证明：欲使①A＞B，只需②C＜D，这里①是②的()A．充分条件B．必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．设a＝lg2＋lg5，b＝ex(x＜0)，则a与b大小关系为()A．a＞bB．a＜bC．a＝bD．a≤b3．要证a2＋b2－1－a2b2≤0，只需证明()A．2ab－1－a2b2≤0B．a2＋b2－1－≤0C.－1－a2b2≤0D．(a2－1)(b2－1)≥04．若x，y∈R，则下面四个式子中恒成立的是()A．log2(1＋2x2)＞0B．x2＋y2≥2(x－y－1)C．x2＋3xy＞2y2D．＜5．设x、y、z＞0，a＝x＋，b＝y＋，c＝z＋，则a、b、c三数()A．至少有一个不大于2B．都小于2C．至少有一个不小于2D．都大于26．设a＝＋2，b＝2＋，则a，b的大小关系为________．7．若a＋b＞a＋b，则a、b应满足的条件是____________．8．用反证法证明命题“若实数a，b，c，d满足a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd＞1，则a，b，c，d中至少有一个是非负数”时，第一步要假设结论的否定成立，那么结论的否定是________．9．已知点An(n，an)为函数y＝图象上的点，Bn(n，bn)为函数y＝x图象上的点，其中n∈N*，设cn＝an－bn，则cn与cn＋1的大小关系为________．10．若a＞b＞c＞d＞0且a＋d＝b＋c，求证：＋＜＋.11．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，若a，b，c三边的倒数成等差数列，求证：∠B＜90°.B级1．不相等的三个正数a，b，c成等差数列，并且x是a与b的等比中项，y是b与c的等比中项，则x2，b2，y2三数()1A．成等比数列而非等差数列B．成等差数列而非等比数列C．既成等差数列又成等比数列D．既非等差数列又非等比数列2．设a，b是两个实数，给出下列条件：①a＋b＞1；②a＋b＝2；③a＋b＞2；④a2＋b2＞2；⑤ab＞1.其中能推出：“a，b中至少有一个大于1”的条件是________．(填序号)3．已知{an}是正数组成的数列，a1＝1，且点(，an＋1)(n∈N*)在函数y＝x2＋1的图象上．(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{bn}满足b1＝1，bn＋1＝bn＋2an，求证：bn·bn＋2＜b.详解答案课时作业(三十八)A级1．B分析法证明的本质是证明结论的充分条件成立，即②⇒①，所以①是②的必要条件．2．A∵a＝lg2＋lg5＝lg10＝1，而b＝ex＜e0＝1，故a＞b.3．D因为a2＋b2－1－a2b2≤0⇔(a2－1)(b2－1)≥0.4．B∵1＋2x2≥1，∴log2(1＋2x2)≥0，故A不正确；x2＋y2－2(x－y－1)＝(x－1)2＋(y＋1)2≥0，故B正确；令x＝0，y＝1，则x2＋3xy＜2y2，故C不正确；令x＝3，y＝2，则＞，故D不正确．5．C假设a、b、c都小于2，则a＋b＋c＜6.而事实上a＋b＋c＝x＋＋y＋＋z＋≥2＋2＋2＝6与假设矛盾，∴a、b、c中至少有一个不小于2.6．解析：a＝＋2，b＝2＋两式的两边分别平方，可得a2＝11＋4，b2＝11＋4，显然，＜.∴a＜b.答案：a＜b7．解析：∵a＋b＞a＋b⇔(－)2(＋)＞0⇔a≥0，b≥0且a≠b.答案：a≥0，b≥0且a≠b8．解析：“至少有一个”的否定是“一个也没有”，故结论的否定是“a，b，c，d中没有一个是非负数，即a，b，c，d全是负数”．答案：a，b，c，d全是负数9．解析：由条件得cn＝an－bn＝－n＝，2∴cn随n的增大而减小．∴cn＋1＜cn.答案：cn＋1＜cn10．证明：要证＋＜＋，只需证(＋)2＜(＋)2，即a＋d＋2＜b＋c＋2，因a＋d＝b＋c，只需证＜.即ad＜bc，设a＋d＝b＋c＝t，则ad－bc＝(t－d)d－(t－c)c＝(c－d)(c＋d－t)＜0.∴ad＜bc成立，从而＋＜＋成立．11．证明：假设∠B＜90°不成立，即∠B≥90°，从而∠B是△ABC的最大角，∴b是△ABC的最大边，即b＞a，b＞c.∴＞，＞，相加得＋＞＋＝，这与＋＝矛盾．故∠B≥90°不成立．因此∠B＜90°.B级1．B由已知条件，可得由②③得代入①得＋＝2b，即x2＋y2＝2b2.故x2，b2，y2成等差数列．2．解析：若a＝，b＝，则a＋b＞1，但a＜1，b＜1，故①推不出；若a＝b＝1，则a＋b＝2，故②推不出；若a＝－2，b＝－3，则a2＋b2＞2，故④推不出；若a＝－2，b＝－3，则ab＞1，故⑤推不出；对于③，即a＋b＞2，则a，b中至少有一个大于1，反证法：假设a≤1且b≤1，则a＋b≤2与a＋b＞2矛盾，因此假设不成立，故a，b中至少有一个大于1.答案：③3．解析：(1)由已知得an＋1＝an＋1，则an＋1－an＝1，又a1＝1，所以数列{an}是以1为首项，1为公差的等差数列．故an＝1＋(n－1)×1＝n.(2)证明：由(1)知，an＝n，从而bn＋1－bn＝2n.bn＝(bn－bn－1)＋(bn－1－bn－2)＋…＋(b2－b1)＋b1＝2n－1＋2n－2＋…＋2＋1＝＝2n－1.因为bn·bn＋2－b＝(2n－1)(2n＋2－1)－(2n＋1－1)2＝(22n＋2－2n＋2－2n＋1)－(22n＋2－2×2n＋1＋1)＝－5×2n＋4×2n＝－2n＜0，所以bn·bn＋2＜b.3
