【走向高考】2016届高三数学一轮基础巩固第8章第7节空间向量及其运算(理)北师大版一、选择题1．已知空间四边形OABC中，OA＝a，OB＝b，OC＝c，点M在OA上，且OM＝2MA，N为BC中点，则MN＝()A．a－b＋cB．－a＋b＋cC．a＋b－cD．a＋b－c[答案]B[解析]显然MN＝ON－OM＝(OB＋OC)－OA.2．空间直角坐标系中，A(1,2,3)，B(－2，－1,6)，C(3,2,1)，D(4,3,0)，则直线AB与CD的位置关系是()A．垂直B．平行C．异面D．相交但不垂直[答案]B[解析]由题意得AB＝(－3，－3,3)，CD＝(1,1，－1)，∴AB＝－3CD，∴AB与CD共线，又AB与CD没有公共点，∴AB∥CD．3．已知AB＝(2,4,5)，CD＝(3，x，y)，若AB∥CD，则()A．x＝6，y＝15B．x＝3，y＝C．x＝3，y＝15D．x＝6，y＝[答案]D[解析]AB∥CD⇔AB＝kCD，得2＝3k，∴k＝.∴x＝6，y＝.4．已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E为上底面A1C1的中心，若AE＝AA1＋xAB＋yAD，则x，y的值分别为()A．x＝1，y＝1B．x＝1，y＝C．x＝，y＝D．x＝，y＝1[答案]C[解析]如图，AE＝AA1＋A1E＝AA1＋A1C1＝AA1＋(AB＋AD)．5．如图所示，已知空间四边形OABC，OB＝OC，且∠AOB＝∠AOC＝，则cos
的值为()A．0B．C．D．1[答案]A[解析]设OA＝a，OB＝b，OC＝c由已知条件＝＝，且|b|＝|c|，OA·BC＝a·(c－b)＝a·c－a·b＝|a||c|－|a||b|＝0，∴cos＝0.6．已知a＝(2，－1,3)，b＝(－1,4，－2)，c＝(7,5，λ)，若a，b，c三个向量共面，则实数λ等于()A．B．C．D．[答案]D[解析]由于a，b，c三向量共面．所以存在实数m，n使得c＝ma＋nb，即有，解得m＝，n＝，λ＝.故选D．二、填空题7．(2015·西安模拟)在z轴上求一点A，使它到点B(1,1,2)的距离为3，则A的坐标是________．[答案](0,0,6)或(0,0，－2)[解析]设A(0,0，a)，则|AB|＝＝3，即(a－2)2＝16.∴a＝6或a＝－2.∴A(0,0,6)或(0,0，－2)．8．若向量a＝(1,1，x)，b＝(1,2,1)，c＝(1,1,1)，满足条件(c－a)·(2b)＝－2，则x＝______.[答案]2[解析]c－a＝(1,1,1)－(1,1，x)＝(0,0,1－x)．∴(c－a)·(2b)＝(0,0,1－x)·(2,4,2)＝2－2x＝－2.∴x＝2.9．如图，已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，BC＝3，M为AC1与CA1的交点，则M点的坐标为________．[答案](1，，1)[解析]由长方体的几何性质得，M为AC1的中点，在所给的坐标系中，A(0,0,0)，C1(2,3,2)．∴中点M的坐标为(1，，1)．三、解答题10．如图，平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°.2(1)求AC1的长；(2)求BD1与AC夹角的余弦值．[解析]记AB＝a，AD＝b，AA1＝c，则|a|＝|b|＝|c|＝1，＝＝＝60°，∴a·b＝b·c＝c·a＝.(1)|AC1|2＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝1＋1＋1＋2×＝6，∴|AC1|＝.(2)BD1＝b＋c－a，AC＝a＋b，∴|BD1|＝，|AC|＝，BD1·AC＝(b＋c－a)·(a＋b)＝b2－a2＋a·c＋b·c＝1.∴cos＝＝.∴AC与BD1夹角的余弦值为.一、选择题1．在下列命题中：①若向量a，b共线，则向量a，b所在的直线平行；②若向量a，b所在的直线为异面直线，则向量a，b一定不共面；③若三个向量a，b，c两两共面，则向量a，b，c共面；④已知空间的三个向量a，b，c，则对于空间的任意一个向量p总存在实数x，y，z使得p＝xa＋yb＋zC．其中正确命题的个数是()A．0B．1C．2D．3[答案]A[解析]①错，向量a，b所在的直线可能重合；②错，向量a，b可以平行移动到同一平面内；③错，如从三棱锥的一个顶点出发的三条棱所对应的三个向量；④错，a，b，c要求不共面．2．(2014·广东高考)已知向量a＝(1,0，－1)，则下列向量中与a成60°夹角的是()A．(－1,1,0)B．(1，－1,0)C．(0，－1,1)D．(－1,0,1)[答案]B[解析]本题考查空间向量所成的角公式，逐一验证：A．cosθ＝＝－，则θ＝120°.B．cosθ＝＝，∴θ＝60°.C．cosθ＝＝－，θ＝120°.D．cosθ＝＝－1，θ＝180°.选B．3注意两向量夹角公式cosθ＝，同时注意夹角范围．二、填空题3．若A、B、C、D是空间中不共面的四点，且满足AB·AC＝0，AC·AD＝0，AB·AD＝0，则△BCD的形状是________．[答案]锐角三角形[解析] AB·AC＝0，AC·AD＝0，AB·AD＝...
