第八章立体几何第1讲空间几何体的结构、三视图和直观图基础巩固1.在下面四个命题中,真命题有()①有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱;②斜三棱柱的侧面一定都不是矩形;③底面为矩形的平行六面体是长方体;④侧面是正方形的正四棱柱是正方体.A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】A【解析】由棱柱、直棱柱的概念可得命题④正确.2.如果四棱锥的四条侧棱都相等,就称它为“等腰四棱锥”,四条侧棱称为它的腰,以下四个命题中,假命题是()A.等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等B.等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补C.等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆D.等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上【答案】B【解析】选项B由于底面形状未定,仅依靠等腰不能确定侧面高是否相等.3.如图所示,已知△ABC的水平放置的直观图是等腰Rt△A'B'C',且∠A'=90°,A'B'=,则△ABC的面积是()A.B.2C.4D.1【答案】B【解析】因为由题意可知∠A'B'C'=45°,A'B'=,从而B'C'=2,所以△ABC为直角三角形,∠B=90°,AB=2A'B'=2,BC=B'C'=2.故S△ABC=×2×2=2.4.下列几何体各自的三视图中,有且仅有两个视图相同的是()A.①②B.①③C.①④D.②④【答案】D【解析】正方体的三视图均为正方形;圆锥的三视图为两个相同的三角形和带一圆心的圆;三棱台的三视图为两个不同的梯形和两个嵌套的三角形;正四棱锥的三视图为两个相同的三角形和一个正方形.故选D.5.沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体如图甲所示,则该几何体的侧视图为()1甲【答案】B【解析】由三视图的相关知识易知应选B.6.棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的8个顶点都在球O的表面上,E,F分别是棱AA1,DD1的中点,则直线EF被球O截得的线段长为()A.B.1C.1+D.【答案】D【解析】由题意知球O半径为,球心O到直线EF的距离为,因此直线EF被球O截得的线段长d=2.7.一个几何体的三视图如下图所示,其中正视图中△ABC是边长为2的正三角形,俯视图为正六边形,那么该几何体的侧视图的面积为()A.B.C.1D.2【答案】A【解析】由三视图知该几何体为正六棱锥,底面边长为1,高为,侧视图为等腰三角形,底边边长为,高为.故所求侧视图的面积为.8.棱长为a的正四面体ABCD的四个顶点均在一个球面上,则此球的半径R=.【答案】a【解析】如图所示,设正四面体ABCD内接于球O,由D点向底面ABC作垂线,垂足为H,连接AH,OA,则可求得,AH=a,DH=a.在Rt△AOH中,可得=R2,解得R=a.29.有一块多边形的菜地,它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如图所示),∠ABC=45°,AB=AD=1,DC⊥BC,则这块菜地的面积为.【答案】2+【解析】在直观图中,过点A作AE⊥BC,垂足为E,则在Rt△ABE中,AB=1,∠ABE=45°,可得BE=. 四边形AECD为矩形,AD=1,∴EC=AD=1.故BC=BE+EC=+1.由此可还原原图形如图.在原图形中,A'D'=1,A'B'=2,B'C'=+1,且A'D'∥B'C',A'B'⊥B'C',故这块菜地的面积为S=(A'D'+B'C')·A'B'=×2=2+.10.如右图所示的几何体是从一个圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面,下底面圆心为顶点的圆锥而得到的,现用一个平面去截这个几何体,若这个平面垂直于圆柱底面所在平面,那么所截得的图形可能是下图中的(把可能的图的序号都填上).【答案】①③【解析】截面为轴截面时可得①,不是轴截面时可得③.11.某圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍,轴截面的面积等于392cm2,母线与轴的夹角为45°,求这个圆台的高、母线长和底面半径.【解】作出圆台的轴截面如图.设圆台的上、下底面半径分别为xcm和3xcm,延长AA1交OO1的延长线于点S.在Rt△SOA中,∠ASO=45°,则∠SAO=45°.于是SO=AO=3x,OO1=2x.又×(6x+2x)×2x=392,解得x=7,所以圆台的高OO1=14cm,母线长l=OO1=14cm,底面半径分别为7cm和21cm.12.在半径为25cm的球内有一个截面,它的面积是49πcm2,求球心到这个截面的距离.3【解】设球半径为R,截面圆的半径为r,球心到截面的距离为d,如图. S=πr2=49πcm2,∴r=7(cm).因此d==24(cm).故球心到这个截面的距离为24cm.13.如图①,在四棱锥P-ABCD中,底面为正方形,PC与底面ABCD垂直,图②为该四棱锥的正视图和侧视图,它们是腰长为6cm的全等的等腰直角三角形.图①图②(1)根据图②所给的正视图、侧视图,画出相应的俯视图,并求出该俯视图的面积;(2)求PA.【解】(1)该四棱锥的...
