第五章平面向量第1讲向量的线性运算基础巩固1.给出以下命题:①若两非零向量a,b,使得a=λb(λ∈R),那么a∥b;②若两非零向量a∥b,则a=λb(λ∈R);③若λ∈R,则λa∥a;④若λ,μ∈R,λ≠μ,则(λ+μ)a与a共线.其中正确命题的个数是()A.1B.2C.3D.4【答案】D【解析】a∥b(b≠0)⇔存在实数λ使得a=λb,∴①②③④正确.2.设四边形ABCD中,有=且||=||,则这个四边形是()A.平行四边形B.矩形C.等腰梯形D.菱形【答案】C【解析】∵=,∴.∴AB∥CD,且DC≠AB,又||=||,∴四边形ABCD为等腰梯形.3.在平行四边形ABCD中,-+等于()A.B.C.D.【答案】D【解析】-+=++=.4.△ABC中,M为边BC上任意一点,N为AM中点,=λ+μ,则λ+μ的值为()A.B.C.D.1【答案】A【解析】=2=2(λ+μ)=2λ+2μ.∵M,B,C共线,∴2λ+2μ=1,λ+μ=.5.在平行四边形ABCD中,AC与BD相交于点O,E是线段OD的中点,AE的延长线与CD交于点F,若=a,=b,则等于()A.a+bB.a+bC.a+bD.a+b【答案】B【解析】如图,=+,由题意知,DE∶BE=1∶3=DF∶AB,∴=.∴=a+b+·=a+b.6.(2012·广东揭阳模拟)已知点O为△ABC外接圆的圆心,且++=0,则△ABC的内角A等于()A.30°B.60°C.90°D.120°【答案】A【解析】由++=0得+=,由O为△ABC外接圆的圆心,结合向量加法的几何意义知四边形OACB为菱形,且∠CAO=60°.故∠A=∠CAO=30°.17.已知=a,=b,=λ,则=.【答案】a+b【解析】=+=+=+(-)=a+(b-a)=a+b.8.若2-(b+c-3x)+b=0,其中a,b,c为已知向量,则未知向量x=.【答案】a-b+c【解析】2x-a-b-c+x+b=0,故x=a-b+c.9.在△ABC中,=a,=b,AD为BC上的中线,G为△ABC的重心,则=.【答案】a+b【解析】==(+)==a+b.10.若M为△ABC所在平面内一点,且满足=+,则△ABM与△ABC的面积之比为.【答案】1∶4【解析】由题知B,M,C三点共线,设=λ,则-=λ(-),即=(1-λ)+λ,从而λ=,故=.11.设e1,e2是两个不共线向量,已知=2e1+ke2,=e1+3e2,=2e1-e2,若A,B,D三点共线,求实数k的值.【解】∵=e1+3e2,=2e1-e2,∴=-=(2e1-e2)-(e1+3e2)=e1-4e2.∵A,B,D三点共线,∴.∴=λ.∴2e1+ke2=λ(e1-4e2).∴2e1+ke2=λe1-4λe2.又∵e1,e2是两个不共线向量,∴∴k=-8.12.在△ABC中,AB=5,AC=5,BC=6,内角平分线交点为O,若=λ+μ,求λ与μ的和.【解】如图,AB=AC,由已知D为BC的中点,由角平分线定理知==,故=,于是==(+)==+.从而λ=,μ=.故λ+μ=+=.13.(1)若a,b都是非零向量,在什么条件下向量a+b与a-b共线?(2)已知两个非零向量e1和e2不共线,如果=2e1+3e2,=6e1+23e2,=4e1-8e2,求证:A,B,D三点共线.【解】(1)∵a,b都是非零向量,∴a+b与a-b中至少有一个不为零向量,不妨设a+b≠0,则由a+b与a-b共线知存在实数λ,使a-b=λ(a+b),即(1-λ)a=(1+λ)b.∵a≠0,且b≠0,∴λ≠±1.从而b=a,故a∥b.综上,可知当a∥b时,a+b与a-b共线.(2)证明:∵=++=(2e1+3e2)+(6e1+23e2)+(4e1-8e2)2=12e1+18e2=6(2e1+3e2)=6,∴与共线.又∵与有共同的起点A,∴A,B,D三点共线.拓展延伸14.如图所示,在△ABC中,D,F分别是BC,AC的中点,=,=a,=b.(1)用a,b表示向量,,,,;(2)求证:B,E,F三点共线.【解】(1)延长AD到G,使=,连接BG,CG,得到▱ABGC,所以=a+b,==(a+b),==(a+b),==b,=-=(a+b)-a=(b-2a),=-=b-a=(b-2a).(2)证明:由(1)可知=,又与有公共点B,所以B,E,F三点共线.3
