【赢在课堂】高考数学一轮复习 3.4定积分与微积分基本 定理配套训练 理 新人教A版VIP免费

第4讲定积分与微积分基本定理基础巩固1.dx等于()A.-2ln2B.2ln2C.-ln2D.ln2【答案】D【解析】dx=lnx=ln4-ln2=ln2.2.(ex+2x)dx等于()A.1B.e-1C.eD.e+1【答案】C【解析】∵被积函数ex+2x的一个原函数为ex+x2,∴(ex+2x)dx=(ex+x2)=(e1+12)-(e0+0)=e.3.已知f(x)=则f(x)dx的值为()A.B.-C.D.【答案】D【解析】f(x)dx=x2dx+1dx=x3+x=+1=.4.函数f(x)=的图象与x轴所围成的封闭图形的面积为()A.B.1C.2D.【答案】A【解析】根据定积分的几何意义结合图形可得所求的封闭图形的面积为S=×1×1+cosxdx=+sinx=+sin-sin0=.5.由直线x=-,x=,y=0与曲线y=cosx所围成的封闭图形的面积为()A.B.1C.D.【答案】D【解析】结合图形可得:S=cosxdx=sinx=sin-sin=.16.由曲线y=x3,y=x2围成的封闭图形的面积为()A.B.C.D.【答案】A【解析】因为y=x2与y=x3的交点为(0,0),(1,1),故所求封闭图形的面积为x2dx-x3dx=x3-x4=-=,应选A.7.(2012·福建卷,6)如图所示,在边长为1的正方形OABC中任取一点P,则点P恰好取自阴影部分的概率为()A.B.C.D.【答案】C【解析】∵由图象知阴影部分的面积是(-x)dx==-=,∴所求概率为=.8.(2012·广东深圳第一次调研)cosxdx=.【答案】【解析】因为cosxdx=sinx=sin=,所以cosxdx=.9.由曲线y=x2和直线x=0,x=1,y=t2,t∈(0,1)所围成的图形(阴影部分)的面积的最小值为.【答案】【解析】曲线y=x2和直线x=0,x=1,y=t2,t∈(0,1)围成图形的面积S=t3-x2dx+x2dx-(1-t)t2=t3-t2+.令S'=4t2-2t=0,解得t=或t=0(舍去).可判断当t=时S最小,Smin=.10.计算下列定积分:(1)dx;(2)dx;(3)(sinx-sin2x)dx.【解】(1)dx==-ln2-=-ln2.(2)dx=dx==-(2+ln2+4)=ln+.(3)(sinx-sin2x)dx==-=-.11.如图所示,直线y=kx分抛物线y=x-x2与x轴所围图形为面积相等的两部分,求k的值.2【解】因为抛物线y=x-x2与x轴两交点的横坐标为x1=0,x2=1,所以抛物线与x轴所围图形的面积S=(x-x2)dx==.又由可得抛物线y=x-x2与y=kx两交点的横坐标为x3=0,x4=1-k,所以=(x-x2-kx)dx==(1-k)3.又知S=,所以(1-k)3=,于是k=1-=1-.12.一质点在直线上从时刻t=0(s)开始以速度v=t2-4t+3(m/s)运动.求该质点:(1)在t=4s的位置;(2)在t=4s内运动的路程.【解】(1)在时刻t=4时该点的位置为(t2-4t+3)dt==(m),即在t=4s时刻该质点距出发点m.(2)因为v(t)=t2-4t+3=(t-1)(t-3),所以在区间[0,1]及[3,4]上v(t)≥0,在区间[1,3]上,v(t)≤0.故t=4s内该质点运动的路程为s=(t2-4t+3)dt++(t2-4t+3)dt=++=++=4(m).拓展延伸13.一条水渠横断面为抛物线型,如图,渠宽AB=4m,渠深CO=2m,当水面距地面0.5m时,求水的横断面的面积.【解】如图,建立直角坐标系,设抛物线方程为x2=2py,代入(2,2)得2p=2,于是x2=2y.将点(x,1.5)代入x2=2y得x=±,因此水的横断面的面积为S=dx==2(m2).故当水面距地面0.5m时水的横断面的面积为2m2.3