第5讲复数的概念及运算基础巩固1.(2012·天津卷,1)i是虚数单位,复数等于()A.1-iB.-1+iC.1+iD.-1-i【答案】C【解析】====1+i.2.如果(m2+i)(1+mi)是实数,则实数m等于()A.1B.-1C.D.-【答案】B【解析】方法一:(m2+i)(1+mi)=m2+m3i+i+mi2=m2-m+(m3+1)i.∵(m2+i)(1+mi)为实数,∴m3+1=0.故m=-1.方法二:代入验证法.将m=-1代入检验,可知.方法三:若(m2+i)(1+mi)为实数,则(m2+i)(1+mi)=(m2-i)(1-mi),求解可知.3.在复平面内,复数对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D【解析】===1-i,对应的点为(1,-1).故选D.4.i是虚数单位,复数等于()A.2+iB.2-iC.-2+iD.-2-i【答案】B【解析】====2-i.5.已知复数z=,是z的共轭复数,则z等于()A.B.C.1D.2【答案】A【解析】方法一:∵z==,∴=.故z=×==.方法二:∵z==,∴|z|===.故z=|z|2=.6.i是虚数单位,若=a+bi(a,b∈R),则ab的值是()A.-15B.-3C.3D.15【答案】B【解析】∵==-1+3i,∴a=-1,b=3,ab=-3.7.(2012·江西卷,1)若复数z=1+i(i为虚数单位),是z的共轭复数,则z2+的虚部为()A.0B.-1C.1D.-2【答案】A【解析】因为z=1+i,所以=1-i.而z2=(1+i)2=2i,=(1-i)2=-2i,所以z2+=0.故选A.8.设复数z满足z(2-3i)=6+4i(i为虚数单位),则z的模为.【答案】2【解析】∵z(2-3i)=6+4i,∴z====2i.故|z|==2.19.若复数z=x+yi(x,y∈R)满足|z-1|=x,则复数z对应的点Z(x,y)的轨迹方程为.【答案】y2=2x-1(x≥0)【解析】由|z-1|=x,得|(x-1)+yi|=x,因此(x-1)2+y2=x2(x≥0),整理,得y2=2x-1(x≥0).10.当实数m取何值时,复数z=(m2-3m+m2i)-[4+(5m+6)i]为实数?为虚数?为纯虚数?【解】先把复数z整理成z=(m2-3m-4)+(m2-5m-6)i.(1)当m2-5m-6=0,即m=-1或m=6时,z是实数.(2)当m2-5m-6≠0,即m≠-1且m≠6时,z是虚数.(3)当即也即m=4时,z是纯虚数.11.已知复数z1满足(z1-2)(1+i)=1-i(i为虚数单位),复数z2的虚部为2,且z1·z2是实数,求z2.【解】∵(z1-2)(1+i)=1-i,∴z1=2-i.设z2=a+2i,a∈R.z1·z2=(2-i)(a+2i)=(2a+2)+(4-a)i.∵z1·z2∈R,∴a=4.故z2=4+2i.12.已知复数z1=2+i,2z2=,(1)求z2;(2)若△ABC的三个内角A,B,C依次成等差数列,且μ=cosA+2icos2,求|μ+z2|的取值范围.【解】(1)z2====-i.(2)在△ABC中,∵内角A,B,C依次成等差数列,∴B=60°,A+C=120°.又μ+z2=cosA+2icos2-i=cosA+i=cosA+icosC,∴|μ+z2|2=cos2A+cos2C=+=cos(A+C)cos(A-C)+1=1+cos120°cos(A-C)=1-cos(A-C).∵A+C=120°,∴A-C=120°-2C.因此-120°
0.于是ω-u2=2(x+1)+-32≥2-3=1,当且仅当2(x+1)=,即x=0时等号成立.故ω-u2的最小值为1,此时z=±i.3
