第3讲直接证明与间接证明基础巩固1.分析法是从要证明的结论出发,逐步寻求使结论成立的()A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.等价条件【答案】A2.要证明+<2可选择的方法有以下几种,其中最合理的是()A.综合法B.分析法C.反证法D.归纳法【答案】B3.命题“对于任意角θ,cos4θ-sin4θ=cos2θ”的证明如下:“cos4θ-sin4θ=(cos2θ-sin2θ)(cos2θ+sin2θ)=cos2θ-sin2θ=cos2θ.”该过程应用了()A.分析法B.综合法C.综合法、分析法综合使用D.间接证明法【答案】B【解析】因为证明过程是“从左往右”,即由条件⇒结论,所以应选B.4.若a>0,b>0,且a≠b,M=+,N=+,则M与N的大小关系是()A.M>NB.M
2,+>2.因此+++>2+2,即+>+.5.用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时,假设正确的是()A.假设三内角都不大于60°B.假设三内角都大于60°C.假设三内角至多有一个大于60°D.假设三内角至多有两个大于60°【答案】B【解析】命题可叙述为“三角形的内角中至少有一个小于或等于60°”,它的反设应是“三角形的内角都大于60°”.6.设a,b,c∈(-∞,0),则a+,b+,c+()A.都不大于-2B.都不小于-2C.至少有一个不大于-2D.至少有一个不小于-2【答案】C【解析】因为a++b++c+≤-6,所以三者不能都大于-2.7.已知点P(a,b)在直线x+2y=4的第一象限的部分上,则log2a+log2b的最大值是()A.-1B.1C.-2D.2【答案】B【解析】由已知得a+2b=4,且00时,ba【解析】要使该不等式成立,则a-b-3+30.故只要ab与a-b同号,上述不等式便成立.10.设a,b是两个实数,给出下列条件:①a+b>1;②a+b=2;③a+b>2;④a2+b2>2;⑤ab>1.其中能推出“a,b中至少有一个大于1”的条件是(填序号).【答案】③【解析】若a=,b=,则a+b>1,但a<1,b<1,故①推不出;若a=b=1,则a+b=2,故②推不出;若a=-2,b=-3,则a2+b2>2,故④推不出;若a=-2,b=-3,则ab>1,故⑤推不出;对于③,即a+b>2,则a,b中至少有一个大于1,反证法:假设a≤1且b≤1,则a+b≤2与a+b>2矛盾,因此假设不成立,故a,b中至少有一个大于1.11.设a,b为互不相等的正数,且a+b=1,证明+>4.【证明】因为a+b=1,所以+=·(a+b)=2++.又因为+≥2=2,所以+≥2+2=4.因为a与b不相等,所以+>4.12.已知△ABC的三个内角A,B,C成等差数列,且三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,求证:+=.【证明】要证原等式成立,只需证+=3,即+=1,即只需证=1.∵由题意可知A+C=2B,∴B=60°.因此b2=a2+c2-ac.故===1.从而原等式得证.13.设a,b,c,d是正数,求证:下列三个不等式a+b0,所以4cd<(a+b)(c+d).结合式②得4cd
