7．应注意的数列中的四个问题一、对题中关键词要理解透彻【例1】►若首项是－24的等差数列，从第10项开始为正数，则公差d的取值范围是________．解析由题意可得解得－＜d≤3.答案－＜d≤3老师叮咛：对条件“从第10项开始为正数”要理解，很容易理解错误或考虑问题不全面，将其理解为“第10项为正数，而第9项为负数”，或者理解为“第10项为正数”，所以要在理解题意之后再做题.二、注意等比数列中项的符号之间的关系【例2】►在等比数列{an}中，如果a2和a6是一元二次方程x2－5x＋4＝0的两个根，那么a3a4a5的值为________．解析方程x2－5x＋4＝0的两个根为1和4，在等比数列{an}中，a3a5＝a2a6＝4，a＝a2a6＝4，又a4＝a2q2＞0，所以a4＝2，即a3a4a5的值为8.答案8老师叮咛：等比数列中所有偶数项符号相同、奇数项符号相同，这是一个很有用的结论，如果对这一结论不清楚或者不能应用，很容易产生增根，如本题可能会出现如下的错误解法：由等比数列的性质和韦达定理得a3a5＝a2a6＝4＝a，∴a4＝±2，∴a3a4a5＝a＝±8，产生增根．三、等比数列的求和公式要正确应用【例3】►设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＋S6＝2S9，则数列的公比q＝________.解析若q＝1，则有S3＝3a1，S6＝6a1，S9＝9a1，因a1≠0，得S3＋S6≠2S9，显然q＝1与题设矛盾，故q≠1；由S3＋S6＝2S9，得＋＝，整理得q3(2q6－q3－1)＝0，由q≠0，得2q6－q3－1＝0，从而(2q3＋1)(q3－1)＝0，因q3≠1，故q3＝－，所以q＝－.答案－老师叮咛：对等比数列的求和公式要正确应用，即使用公式Sn＝的前提条件是q≠1，如题中没有指明，则需要分情况讨论．否则，容易出错，如本题有下面的解法：由S3＋S6＝2S9，得＋＝，整理得q3(2q6－q3－1)＝0，由q≠0，得2q6－q3－1＝0，从而(2q3＋1)(q3－1)＝0，解得q＝1或－.这是一种相当普遍的错误，关键是不能明确等比数列前n项和公式使用的前提条件．四、注意数列与函数的关系【例4】►已知等差数列{an}与等比数列{bn}的首项均为1，且公差d≠1，公比q＞0，且q≠1，则集合{n|an＝bn}的元素最多有________个．解析利用数形结合的方法，等差数列的图象是直线，等比数列的图象类似指数函数，两者的交点最多有2个，当两个交点的横坐标都是正整数时，则集合{n|an＝bn}的元素个数是2，否则，元素个数是1或0，即集合{n|an＝bn}的元素个数最多有2个．答案2老师叮咛：注意数列是一种特殊的函数，所以数列的很多问题需要借助相应的函数图象直观解题，如果不能借助数形结合，利用图象直观分析问题，像本题这样的题目就无法下手，所以要加强数与形的相互转化.1
