必考问题5解三角形【真题体验】1．(2012·南京、盐城模拟)在△ABC中，已知sinA∶sinB∶sinC＝2∶3∶4，则cosC＝________.解析因为sinA∶sinB∶sinC＝2∶3∶4，由正弦定理可得a∶b∶c＝2∶3∶4，不妨设a＝2k，b＝3k，c＝4k(k＞0)，则由余弦定理可得cosC＝＝＝－.答案－2．(2010·江苏，13)在锐角三角形ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，＋＝6cosC，则＋＝________.解析＋＝6cosC⇒6abcosC＝a2＋b2,6ab·＝a2＋b2，a2＋b2＝.＋＝·＝·＝·由正弦定理得：上式＝·＝4.答案43．(2011·江苏，15)在△ABC中，角A、B、C所对应的边为a，b，c.(1)若sin＝2cosA，求A的值；(2)若cosA＝，b＝3c，求sinC的值．解(1) sin＝2cosA，∴sinA＝cosA，∴cosA＝，又A∈(0，π)∴A＝.(2) cosA＝，b＝3c，∴a2＝b2＋c2－2bccosA＝8c2，a＝2c.由正弦定理得：＝，而sinA＝＝，∴sinC＝.(也可以先推出直角三角形)【高考定位】高考对本内容的考查主要有：正弦定理、余弦定理及其应用，要求是B级，能够应用定理实现三角形中边和角的转化，以及应用定理解决实际问题．试题类型可能是填空题，同时在解答题中与三角函数、向量等综合考查，构成中档题．【应对策略】解三角形是三角函数作为工具的重要体现，在历年的高考试题中占有重要地位，尤其是与三角函数的综合更加是考查重点，题型可能是填空题，也可能是解答题．需要熟练掌握三角形中的基本定理及其变形，以及正、余弦定理与三角函数的结合问题．必备知识1．正弦定理及其变形＝＝＝2R(2R为△ABC外接圆的直径)．变形：a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC.sinA＝，sinB＝，sinC＝.a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC.12．余弦定理及其推论a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝a2＋c2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC.推论：cosA＝，cosB＝，cosC＝.3．面积公式S△ABC＝bcsinA＝acsinB＝absinC.4．三角形中的常用结论(1)三角形内角和定理：A＋B＋C＝π.(2)A＞B＞C⇔a＞b＞c⇔＞sinA＞sinB＞sinC.(3)a＝bcosC＋ccosB.必备方法1．三角形中的三角函数是三角函数图象和性质的一个重要方面的应用，解决的关键是要善于应用诱导公式、同角三角函数的基本关系等三角函数基础知识对三角函数解析式进行化简、变形，同时要注意有关角的范围限制．2．正弦定理的应用：(1)已知两角和任意一边，求其它两边和一角；(2)已知两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其他的边和角．3．利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：(1)已知三边，求三个角；(2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角．2命题角度一正、余弦定理与三角函数的结合问题[命题要点]正、余弦定理与三角函数结合命题是高考的一个方面，往往以三角函数为载体考查解三角形知识．【例1】►(2012·天一、淮阴、海门中学联考)已知函数f(x)＝sin2x－cos2x－，x∈R.(1)求函数f(x)的最小值和最小正周期；(2)设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且c＝，f(C)＝0，若sinB＝2sinA，求a，b的值．[审题视点][听课记录][审题视点](1)将原函数解析式通过恒等变换化简成y＝Asin(ωx＋φ)形解决；(2)通过正、余弦定理的结合解题．解(1)f(x)＝sin2x－－＝sin－1，则f(x)的最小值是－2，最小正周期是T＝＝π.(2)f(C)＝sin－1＝0，则sin＝1， 0＜C＜π，∴－＜2C－＜，∴2C－＝，∴C＝，sinB＝2sinA，由正弦定理，得＝，①由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcos，即a2＋b2－ab＝3，②由①②解得a＝1，b＝2.对边、角混合的问题的处理办法一般是实施边、角统一，而正弦定理、余弦定理在实施边和角相互转化时有重要作用，如果边是一次式，一般用正弦定理转化，如果边是二次式，一般用余弦定理．【突破训练1】(2012·苏州调研)在△ABC中，已知角A，B，C的对边分别为a，b，c，且＝.(1)求A；(2)若f(x)＝cos2(x＋A)－sin2(x－A)，求f(x)的单调递增区间．解(1)由＝，得＝.∴a2＝b2＋c2－bc.由余弦定理，得cosA＝. 0＜A＜π，∴A＝.(2)f(x)＝cos2(x＋A)－sin2(x－A)＝cos2－sin2＝－＝－cos2x.令2kπ≤2x≤2kπ＋π(k∈Z)，得kπ≤x≤kπ＋(k∈Z)，∴f(x)的单调递增区间为[kπ，kπ＋](k∈Z)．命题角度二正、余弦定理与三角形面积的结...
