第4讲直线、平面垂直的判定与性质INCLUDEPICTURE"../课时作业.tif"\*MERGEFORMAT基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈α，A∉l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是()A．AB∥mB．AC⊥mC．AB∥βD．AC⊥β解析如图所示，AB∥l∥m；AC⊥l，m∥l⇒AC⊥m；AB∥l⇒AB∥β，只有D不一定成立，故选D.答案D2．设a是空间中的一条直线，α是空间中的一个平面，则下列说法正确的是()A．过a一定存在平面β，使得β∥αB．过a一定存在平面β，使得β⊥αC．在平面α内一定不存在直线b，使得a⊥bD．在平面α内一定不存在直线b，使得a∥b解析当a与α相交时，不存在过a的平面β，使得β∥α，故A错误；直线a与其在平面α内的投影所确定的平面β满足β⊥α，故选B；平面α内的直线b只要垂直于直线a在平面α内的投影，则就必然垂直于直线a，故C错误；当a与α平行时，在平面α内存在直线b，使得a∥b，故D错误．答案B3.如图，已知△ABC为直角三角形，其中∠ACB＝90°，M为AB的中点，PM垂直于△ABC所在平面，那么()A．PA＝PB＞PCB．PA＝PB＜PCC．PA＝PB＝PCD．PA≠PB≠PC解析 M为AB的中点，△ACB为直角三角形，∴BM＝AM＝CM，又PM⊥平面ABC，∴Rt△PMB≌Rt△PMA≌Rt△PMC，故PA＝PB＝PC.答案C4．(2015·青岛质量检测)设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则能得出a⊥b的是()1A．a⊥α，b∥β，α⊥βB．a⊥α，b⊥β，α∥βC．a⊂α，b⊥β，α∥βD．a⊂α，b∥β，α⊥β解析A中，两直线可以平行、相交或异面，故不正确；B中，两直线平行，故不正确；C中，由α∥β，a⊂α可得a∥β，又b⊥β，得a⊥b，故正确；D中，两直线可以平行，相交或异面，故不正确．答案C5.(2015·深圳调研)如图，在四面体D－ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列正确的是()A．平面ABC⊥平面ABDB．平面ABD⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDED．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE解析因为AB＝CB，且E是AC的中点，所以BE⊥AC，同理有DE⊥AC，于是AC⊥平面BDE.因为AC⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面BDE.又由于AC⊂平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE，所以选C.答案C二、填空题6.如图，PA⊥圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，E，F分别是点A在PB，PC上的正投影，给出下列结论：①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC.其中正确结论的序号是________．解析由题意知PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC.又AC⊥BC，且PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC，∴BC⊥AF. AF⊥PC，且BC∩PC＝C，∴AF⊥平面PBC，∴AF⊥PB，AF⊥BC.又AE⊥PB，AE∩AF＝A，∴PB⊥平面AEF，∴PB⊥EF.故①②③正确．答案①②③7．如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD(只要填写一个你认为正确的条件即可)．解析 PC在底面ABCD上的射影为AC，且AC⊥BD，∴BD⊥PC.∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，即有PC⊥平面MBD，而PC⊂平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.答案DM⊥PC(或BM⊥PC)8．设α，β是空间两个不同的平面，m，n是平面α及β外的两条不同直线．从“①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α”中选取三个作为条件，余下一个作为结论，写出你认为正确的一个命题：________(用代号表示)．解析假如①③④为条件，即m⊥n，n⊥β，m⊥α成立，过m上一点P作PB∥n，则PB⊥m，PB⊥β，设垂足为B.又设m⊥α，垂足为A，过PA，PB的平面与α，β的交线l交于点C.因为l⊥PA，l⊥PB，所以l⊥平面PAB，所以l⊥AC，l⊥BC.所以∠ACB是二面角α－l－β的平面角．2由m⊥n，显然PA⊥PB，所以∠ACB＝90°，所以α⊥β.由①③④⇒②成立．反过来，如果②③④成立，与上面证法类似可得①成立．答案①③④⇒②(②③④⇒①)三、解答题9.(2014·包头市学业水平测试)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝2AC＝2BC，D是棱AA1的中点，CD⊥B1D.(1)证明：CD⊥B1C1；(2)平面CDB1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比．(1)证明由题设知，三棱柱的侧面为矩形，由于D为AA1的中点，故DC＝DC1，又AA1＝2A1C1...
