第3讲基本不等式及其应用INCLUDEPICTURE"../课时作业.tif"\*MERGEFORMAT基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．(2014·太原模拟)设非零实数a，b，则“a2＋b2≥2ab”是“＋≥2”成立的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析因为a，b∈R时，都有a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，即a2＋b2≥2ab，而＋≥2⇔ab＞0，所以“a2＋b2≥2ab”是“＋≥2”的必要不充分条件，故选B.答案B2．已知a＞0，b＞0，a＋b＝2，则y＝＋的最小值是()A.B．4C.D．5解析依题意，得＋＝·(a＋b)＝[5＋(＋)]≥(5＋2)＝，当且仅当即a＝，b＝时取等号，即＋的最小值是.答案C3．若正数x，y满足4x2＋9y2＋3xy＝30，则xy的最大值是()A.B.C．2D.解析由x＞0，y＞0，得4x2＋9y2＋3xy≥2·(2x)·(3y)＋3xy(当且仅当2x＝3y时等号成立)，∴12xy＋3xy≤30，即xy≤2，∴xy的最大值为2.答案C4．(2015·金华十校模拟)已知a＞0，b＞0，a，b的等比中项是1，且m＝b＋，n＝a＋，则m＋n的最小值是()A．3B．4C．5D．6解析由题意知：ab＝1，∴m＝b＋＝2b，n＝a＋＝2a，∴m＋n＝2(a＋b)≥4＝4.答案B5．(2014·福建卷)要制作一个容积为4m3，高为1m的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是()A．80元B．120元C．160元D．240元解析设底面矩形的长和宽分别为am，bm，则ab＝4(m2)．容器的总造价为20ab＋2(a＋b)×10＝80＋20(a＋b)≥80＋40＝160(元)(当且仅当a＝b时等号成立)．故选C.答案C二、填空题6．(2014·贵阳适应性监测)已知向量m＝(2，1)，n＝(1－b，a)(a＞0，b＞0)．若m∥n，则ab的最大值为________．解析依题意得2a＝1－b，即2a＋b＝1(a＞0，b＞0)，因此1＝2a＋b≥2，即ab≤，当且仅当2a＝b＝时取等号，因此ab的最大值是.答案7．(2015·南昌模拟)已知x＞0，y＞0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为________．1解析由已知，得xy＝9－(x＋3y)，即3xy＝27－3(x＋3y)≤，令x＋3y＝t，则t2＋12t－108≥0，解得t≥6，即x＋3y≥6.答案68．(2014·重庆卷)若log4(3a＋4b)＝log2，则a＋b的最小值是________．解析由log4(3a＋4b)＝log2得3a＋4b＝ab，且a＞0，b＞0，∴＋＝1，∴a＋b＝(a＋b)·＝7＋≥7＋2＝7＋4，当且仅当＝时取等号．答案7＋4三、解答题9．已知x＞0，y＞0，且2x＋5y＝20.(1)求u＝lgx＋lgy的最大值；(2)求＋的最小值．解(1) x＞0，y＞0，∴由基本不等式，得2x＋5y≥2. 2x＋5y＝20，∴2≤20，xy≤10，当且仅当2x＝5y时，等号成立．因此有解得此时xy有最大值10.∴u＝lgx＋lgy＝lg(xy)≤lg10＝1.∴当x＝5，y＝2时，u＝lgx＋lgy有最大值1.(2) x＞0，y＞0，∴＋＝·＝≥＝，当且仅当＝时，等号成立．由解得∴＋的最小值为.10．(2014·泰安期末考试)小王于年初用50万元购买一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需支出6万元，从第二年起，每年都比上一年增加支出2万元，假定该车每年的运输收入均为25万元．小王在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第x年年底出售，其销售价格为(25－x)万元(国家规定大货车的报废年限为10年)．(1)大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？(2)在第几年年底将大货车出售，能使小王获得的年平均利润最大？(利润＝累计收入＋销售收入－总支出)解(1)设大货车到第x年年底的运输累计收入与总支出的差为y万元，则y＝25x－[6x＋x(x－1)]－50(0＜x≤10，x∈N)，即y＝－x2＋20x－50(0＜x≤10，x∈N)，由－x2＋20x－50＞0，解得10－5＜x＜10＋5.而2＜10－5＜3，故从第3年开始运输累计收入超过总支出．(2)因为利润＝累计收入＋销售收入－总支出，所以销售二手货车后，小王的年平均利润为y＝[y＋(25－x)]＝(－x2＋19x－25)＝19－，而19－≤19－2＝9，当且仅当x＝5时等号成立，即小王应当在第5年将大货车出售，才能使年平均利润最大．能力提升题组(建议用时：25分钟)11．(2015·西安第一中学模拟)设x，y∈R，a＞1，b＞1，若ax＝by＝3，a＋b＝2，则＋的最大值为()2A．2B.C．1D.解析由ax＝by＝3，得x＝loga3，y＝logb3，则＋＝＋＝＝.又a＞1，b＞1，所以ab≤()2＝3，所...
