"【世纪金榜】高中数学1.7.3球的表面积和体积课时提能演练北师大版必修2"（30分钟50分）一、选择题（每小题4分，共16分）1.（2011·湖北高考）设球的体积为V1，它的内接正方体的体积为V2，下列说法中最合适的是()(A)V1比V2大约多一半(B)V1比V2大约多两倍半(C)V1比V2大约多一倍(D)V1比V2大约多一倍半2.表面积为16π的球内切于正三棱柱ABC-A1B1C1的各个面，则该三棱柱的体积为()（A）（B）（C）（D）3.已知球面上的三个点A，B，C，且AB＝6，BC＝8，AC＝10，球半径R＝15，则球心到平面ABC的距离是()（A）10（B）（C）15（D）4.（2012·蚌埠模拟）某物体是空心的几何体，其三视图均为右图，则其体积为()（A）8（B）（C）8+（D）8-二、填空题（每小题4分，共8分）5.（易错题）已知三棱锥S-ABC的各顶点都在一个半径为r的球面上，球心O在AB上，SO⊥底面ABC，AC＝2r，则球的体积与三棱锥体积之比是______.6.（2011·新课标全国高考）已知两个圆锥有公共底面，且两个圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上，若圆锥底面面积是这个球面面积的，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为______.三、解答题（每小题8分，共16分）7.如果一个几何体的主视图与左视图都是全等的长方形，边长分别是4cm与2cm.如图所示，俯视图是一个边长为4cm的正方形.（1）求该几何体的表面积;（2）求该几何体的外接球的体积.8.半径为R的球内接一个各棱长都相等的四棱锥．求该四棱锥的体积．【挑战能力】（10分）正三棱锥A-BCD的高为1，底面边长为内有一个球O与四个面都相切，求棱锥的表面积和球的表面积．1答案解析1.【解析】选D.设球半径为R，则V1=设正方体棱长为a，则V2=a3.又∵2R=∴R=，∴V1=∴V1-V2=2.【解析】选A.设球的半径为R，由S球=16π可知R=2.∵球内切于三棱柱，∴三棱柱的底面边长a=,高h=4,∴V三棱柱=Sh=3.【解析】选B.由题意截面圆的半径为5，∴球心到截面距离d＝4.【解题指南】由三视图可知，该几何体为一个正方体挖去一个内切球.【解析】选D.易知V=V正方体-V球=23-·π·13=8-π.5.【解析】∵SO⊥底面ABC，∴SO为三棱锥的高线，∴SO＝r，又∵O在AB上，AB＝2r，AC＝r，∠ACB＝90°，∴BC＝r，∴VS-ABC＝又∵球的体积V＝答案：4π∶1【误区警示】本题易在求解体积时弄错系数而出错.6.【解析】如图，设球的半径为R，圆锥的底面圆半径为r，则依题意得2即∴∠O′CO=30°,∴OO′=R,∴AO′=R-R,BO′=R+R,∴答案：7.【解析】（1）由题意可知，该几何体是长方体，底面是正方形，边长是4，高是2，因此该几何体的表面积是：2×4×4＋4×4×2＝64（cm2）,该几何体的表面积是64cm2.(2)由长方体与球的性质可得，长方体的对角线是球的直径，记长方体的对角线为d,球的半径是r,d===6,所以球的半径r=3,因此球的体积V=所以外接球的体积是36πcm3.8.【解题指南】四棱锥的体积由它的底面积和高确定，只需找到底面、高与球半径的关系即可，解决这个问题的关键是如何选取截面.【解析】如图所示．∵棱锥底面各边相等，∴底面是菱形．∵棱锥侧棱都相等，∴侧棱在底面上射影都相等，即底面有外接圆．∴底面是正方形，且顶点在底面上的射影是底面中心，此棱锥是正棱锥．过该棱锥对角面作截面，设棱长为a，则底面对角线AC=a，故截面SAC是等腰直角三角形．又因为SAC是球的大圆的内接三角形，所以AC=2R，即a=R．∴高SO=R，体积V=S底·SO=R3.【挑战能力】【解析】过侧棱AB与球心O作截面(如图)，在正三棱锥中，BE是底面正三角形的高，O1是底面正三角形的中心，且AE为斜高．因为底面边长为，∴O1E＝，且AE＝，S棱锥表＝3×××＋3作OF⊥AE于F，设内切球半径为r，则OF＝r，AO＝1－r.∵Rt△AFO∽Rt△AO1E，4
