mathematics第7讲VIP专享VIP免费

软件介绍第7讲数列与级数第一页，共六十四页。2/637.1引言极限是微积分中最重要的基本内容之一。远在公元前3世纪，古希腊人阿基米德就采用了数列极限的思想来计算曲边三角形的面积。本讲的目的是通过计算机来发现数列的规律与极限状态的性质。第二页，共六十四页。3/637.1引言所谓一个无穷数列是指按一定顺序排列的一组数a1，a2，…，an，…(1)而一个无穷级数则是由无穷项构成的和式.(2)数列与极限有着密不可分的关系。给定一个无穷级数(2)，它唯一确定了一个无穷数列S1，S2，...其中Sn=a1+…+an，n=1，2，…。...211aaann第三页，共六十四页。4/637.1引言所谓一个无穷数列是指按一定顺序排列的一组数a1，a2，…，an，…(1)而一个无穷级数则是由无穷项构成的和式.(2)数列与极限有着密不可分的关系。反之，给定一个无穷数列(1)，它也唯一地确定了一个无穷级数，这里b1=a1,bn=an–an-1,n=2,3,…。而且无穷级数的和就是相应的无穷数列的极限.因此，无穷数列与无穷级数是可以转化的。...211aaann1nnb第四页，共六十四页。5/637.1引言对于给定的数列{an},需要研究的问题是：(1)数列an有什么规律和性质。(2)当n→∞时，数列an的极限是什么。(3)如果极限是无穷大,那么它趋向于无穷大的阶是多大(4)如果数列的极限不存在,那么它在无穷大时的极限状态怎样?对于给定一个无穷级数，也具有以上类似的问题。本讲首先以斐波那契数列和调和级数为例来探讨上述问题，然后讨论自然对数的底e。第五页，共六十四页。6/637.2斐波那契(Fibonacci)数列7.2.1斐波那契(Fibonacci)数列的由来13世纪意大利著名数学家斐波那契在他的著作《算盘书》中记载着这样一个问题：一对刚出生的幼兔经过一个月后可长成成兔，成兔再经过一个月后可以繁殖出一对幼兔。假设兔子不会死亡，问一年后总共有多少对兔子?易知，兔子总数为以下数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，…第六页，共六十四页。7/637.2斐波那契(Fibonacci)数列7.2.1斐波那契(Fibonacci)数列的由来易知，兔子总数为以下数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，…其递推关系式由Fn+2=Fn+1+Fn，n=1，2，…，F1=1，F2=1(3)给出，该数列被称为斐波那契数列。第七页，共六十四页。8/637.2斐波那契(Fibonacci)数列Fn+2=Fn+1+Fn，n=1，2，…，F1=1，F2=1(3)该数列被称为斐波那契数列。7.2.2斐波那契数列的极限为考察斐波那契数列的极限与规律，我们用计算机算出斐波那契数列每一项的值，并在平面上画出顺次连接点(n，Fn)，n=1，2，…，N的折线图，其中N是一个大整数。第八页，共六十四页。9/637.2斐波那契(Fibonacci)数列7.2.2斐波那契数列的极限【例7-1】取N=20，观察斐波那契数列的折线图。输入如下Mathematica程序：f[n_]:=f[n-1]+f[n-2];f[0]=1;f[1]=1;fib=Table[f[i],{i,1,20}];g1=ListPlot[fib,PlotStyle->PointSize[0.02]];g2=ListPlot[fib,PlotJoined->True];Show[g1,g2];第九页，共六十四页。10/637.2斐波那契(Fibonacci)数列7.2.2斐波那契数列的极限【例7-1】取N=20，观察斐波那契数列的折线图。输入如下Mathematica程序：fib=Table[Fibonacci[i],{i,1,20}];g1=ListPlot[fib,PlotStyle->PointSize[0.02]];g2=ListPlot[fib,PlotJoined->True];Show[g1,g2];第十页，共六十四页。11/637.2斐波那契(Fibonacci)数列7.2.2斐波那契数列的极限【例7-1】取N=20，观察斐波那契数列的折线图。斐波那契数列的折线图：第十一页，共六十四页。12/637.2斐波那契(Fibonacci)数列7.2.2斐波那契数列的极限练习分别取N=50,100,200,500，观察斐波那契数列的折线图。斐波那契数列是否单调递增?它是否趋向于无穷?它增加的速度是快还是慢?第十二页，共六十四页。13/637.2斐波那契(Fibonacci)数列7.2.2斐波那契数列的极限为进一步研究斐波那契数列Fn的特性，将Fn取对数，在直角坐标系中画出顺次连接点(n，lnFn)，n=1，2，…，N的折线图第十三页，共六十四页。14/637.2斐波那契(Fibonacci)数列7.2.2斐波那契数列的极限【例7-2】取n=20，画出(n，lnFn)的折线图，并对以上数据进行拟合。在直角坐标系中画出顺次连接...