mathematics第8讲VIP免费

软件介绍第8讲线性代数的数值计算第一页，共六十八页。2/67线性代数是应用数学的一个重要分支，它是科技与工程中线性模型问题研究与求解的最主要工具，因而有着广泛的应用。线性代数研究的主要内容是矩阵和线性方程组的性质与求解，有时也包括线性空间和二次型的讨论。第8讲线性代数的数值计算第二页，共六十八页。3/67第8讲线性代数的数值计算8.1矩阵8.2特征值和特征向量8.3线性方程组求解8.4探索实验第三页，共六十八页。4/678.1矩阵在前面第1章1.4节关于表的介绍中我们看到，一个二维的表与一个矩阵代表着相同的内容，它们只是在不同领域里的不同叫法，在数学里叫它们为矩阵，而在文字处理与数据处理中常称之为表.从Mathematica角度看，向量和矩阵只是一种特殊的表，因此在描述和生成矩阵时，我们可以充分利用表这一工具。第四页，共六十八页。5/678.1矩阵8.1.1矩阵的生成1.当矩阵的阶数比较低时，可以用直接输入法生成矩阵【例8-1】矩阵的生成A={{1,2,3},{4,5,6},{7,8,9}};(A的列表形式)A//MatrixForm(将A写成矩阵的形式)运行后得：第五页，共六十八页。6/678.1矩阵8.1.1矩阵的生成2.当矩阵的阶数比较高时，可以利用建表函数来生成矩阵Array[a，{m，n}]生成mn阶的矩阵，它的i行j列元素是a[i,j]Table[a[i，j]，{i，m}，{j，n}]同上Table[fij，{i，m}，{j，n}]生成mn阶的矩阵，它的i行j列元素按通项fij的规律取得第六页，共六十八页。7/678.1矩阵8.1.1矩阵的生成2.当矩阵的阶数比较高时，可以利用建表函数来生成矩阵【例8-2】生成元素为hij=1/(i+j–1)的mn阶矩阵，此阵称为Hilbert矩阵。H=Table[1/(i+j–1),{i,3},{j,4}];MatrixForm[H]第七页，共六十八页。8/678.1矩阵8.1.1矩阵的生成3.特殊矩阵的生成Table[0，{m}，{n}]IdentityMatrix[n]DiagonalMatrix[list]Table[Random[]，{m}，{n}]生成一个mn阶随机元素阵，元素的值在0与1之间Table[If[i<=j，1，0]，{i，m}，{j，n}]生成一个mn阶的上三角矩阵Table[If[i>=j，1，0]，{j，m}，{j，n}]生成一个mn阶的下三角矩阵生成一个mn阶0元素矩阵生成一个n阶单位矩阵用表list中的元素生成一个对角阵第八页，共六十八页。9/678.1矩阵8.1.1矩阵的生成3.特殊矩阵的生成【例8-3】(1)生成0元素阵；Table[0,{2},{3}];%//MatrixForm(2)生成单位阵；IdentityMatrix[3];%//MatrixForm(3)生成对角阵；DiagonalMatrix[{a,b,c,d}];%//MatrixForm第九页，共六十八页。10/678.1矩阵8.1.1矩阵的生成3.特殊矩阵的生成【例8-3】(4)生成随机元素阵；Table[Random[],{2},{2}](5)生成上三角阵；Table[If[i<=j,4,0],{i,3},{j,3}]%//MatrixForm(6)生成下三角阵。Table[If[i>=j,5,0],{i,3},{j,4}];%//MatrixForm第十页，共六十八页。11/678.1矩阵8.1.2矩阵的取块在矩阵运算中有时需要提取它的一部分元素(块)参与运算，比如提取一个元素，一行元素，一列元素，或者一个子矩阵等，方法如下：A[[i，j]]取出矩阵A的第i行第j列元素A[[i]]取出矩阵A中的第i行元素A[[All，j]]取出矩阵A中的第j列元素A[[{i1，i2，…，ip}，{j1，j2，…，jq}]]Take[A，{i0，i1}，{j0，j1}]Tr[A，List]取出按列表给出的矩阵A的对角线元素取出由i1，i2，…，ip行，j1，j2，…，jq列组成的子阵取出由A的i0行到i1行和j0到j1列组成的子阵第十一页，共六十八页。12/678.1矩阵8.1.2矩阵的取块【例8-4】已知矩阵B={{1.1,1.2,1.3,1.4,1.5},{2.1,2.2,2.3,2.4,2.5},{3.1,3.2,3.3,3.4,3.5},{4.1,4.2,4.3,4.4,4.5},{5.1,5.2,5.3,5.4,5.5}}。MatrixForm[B]则有第十二页，共六十八页。13/678.1矩阵8.1.2矩阵的取块【例8-4】已知矩阵B[[2,3]]=6.9(将B中2行3列元素2.3重新赋值为6.9)B[[2]](取出重新赋值后的第2行)B[[All,3]](取出重新赋值后的第3列)B[[{1,3},{2,4}]]Take[B,{1,2},{3,5}]Tr[B,List]第十三页，共六十八页。14/678.1矩阵8.1.3矩阵的运算设u为一个数量,A=[aij]mn和B=[bij]rs为矩阵,数学中:u±A=[u±aij]mnu加矩阵A等于将u加到A的每个元素上u.A=[u.aij]mnu乘矩阵A等于将u乘到A的每个元素上A±B=[aij±bij]mnA与B同阶(m=r，n=s)，对应元素相加A.B=CA右乘B，必...