【引言】填空题是将一个数学真命题,写成其中缺少一些语句的不完整形式,要求学生在指定的空位上,将缺少的语句填写清楚、准确.它是一个不完整的陈述句形式,填写的可以是一个词语、数字、符号、数学语句等.数学填空题的特点填空题缺少选择的信息,故解答题的求解思路可以原封不动地移植到填空题上.但填空题既不用说明理由,也不需书写过程,因而解选择题的有关策略、方法有时也适用于填空题.填空题大多数能在课本中找到原型和背景,故可以化归为我们熟知的题目或基本题型.填空题不需要求解过程,不设中间分值,更易失分,因而在解答过程中应力求准确无误.填空题虽题小,但跨度大,覆盖面广,形式灵活,可以有目的、和谐地结合一些问题,突出训练学生准确、严谨、全面、灵活地运用知识的能力和基本运算能力,突出以图助算、列表分析、精算与估算相结合等计算能力.要想又快又准地答好填空题,除直接推理计算外,还要讲究一些解题策略,有时要尽量避开常规解法.数学填空题的类型根据填空时所填写的内容形式,可以将填空题分成两种类型:一是定量型,要求考生填写数值、数集或数量关系,如:方程的解,不等式的解集,函数的定义域、值域、最大值或最小值,线段的长度,角度的大小,等等.由于填空题和选择题相比,缺少选择的信息,所以在高考题中多数是以定量型问题出现.二是定性型,要求填写的是具有某种性质的对象或者填写给定的数学对象的某种性质,如:给定二次曲线的焦点坐标、离心率等.近几年出现了定性型的具有多重选择性的填空题.解数学填空题的原则解答填空题时,由于不反映过程,只要求结果,故对正确性的要求比解答题更高、更严格.《考试说明》中对解答填空题提出的基本要求是“正确、合理、迅速”.为此在解填空题时要做到:快——运算要快,力戒小题大做;稳——变形要稳,不可操之过急;全——答案要全,力避残缺不齐;活——解题要活,不要生搬硬套;细——审题要细,不能粗心大意.例1(2015年新课标全国Ⅰ卷)在数列{an}中,a1=2,an+1=2an,Sn为{an}的前n项和.若Sn=126,则n=.【解析】 a1=2,an+1=2an,∴数列{an}是首项为2,公比为2的等比数列.又 Sn=126,∴2(1-2n)1-2=126,∴n=6.【答案】6所谓直接法,就是直接从题设条件出发,运用有关概念、性质、定理、法则和公式等知识,经过变形、推理、计算、判断得出的一种解题方法.它是解填空题的最基本、最常用的方法.使用直接法解填空题,要善于通过现象看本质,自觉地有意识地采用灵活、简捷的解法.【题型示例】常规填空题的解法：方法一:直接求解法例2(2015年天津卷)i是虚数单位,若复数(1-2i)(a+i)是纯虚数,则实数a的值为.【解析】由(1-2i)(a+i)=(a+2)+(1-2a)i是纯虚数,可得൜a+2=0,1-2a≠0,解得a=-2.【答案】-2例3在△ABC中,2sin2A2=ξ3sinA,sin(B-C)=2cosBsinC,则ACAB=.【解析】因为sin(B-C)=2cosBsinC,所以tanB=3tanC.又因为2sin2A2=ξ3sinA,所以sin(A+π6)=12,解得A=2π3,所以B=π3-C,则tan(π3-C)=3tanC,解得tanC=ξ13-23ξ3.由正弦定理得ACAB=sinBsinC=sin(π3-C)sinC=ξ32tanC-12=1+ξ132.例4(2015年新课标全国Ⅱ卷)已知曲线y=x+lnx在点(1,1)处的切线与曲线y=ax2+(a+2)x+1相切,则a=.【解析】(法一) y=x+lnx,∴y'=1+1x,∴当x=1时,y'=2.∴曲线y=x+lnx在点(1,1)处的切线方程为y-1=2(x-1),即y=2x-1. y=2x-1与曲线y=ax2+(a+2)x+1相切,∴a≠0(当a=0时曲线变为y=2x+1与已知直线平行).由ቊy=2x-1,y=ax2+(a+2)x+1,消去y,得ax2+ax+2=0.由Δ=a2-8a=0,解得a=8.(法二)同方法一得切线方程为y=2x-1.设y=2x-1与曲线y=ax2+(a+2)x+1相切于点(x0,ax02+(a+2)x0+1). y'=2ax+(a+2),∴当x=x0时,y'=2ax0+(a+2).由ቊ2ax0+(a+2)=2,ax02+(a+2)x0+1=2x0-1,解得ቊx0=-12,a=8.【答案】8方法二:特殊化求解法当填空题的题目提供的信息暗示答案唯一或其值为定值时,只需把题中的参变量用特殊值(特殊函数、特殊角、图形的特殊位置、特殊点、特殊方程、特殊模型等)代替题设中的普遍条件,即可得到结论.在运用这种方法时,注意化抽象为具体,化整体为局部,化参数为常量,化较弱条件为较强条件等等.通过对“特殊”的思考与解决,启发思维,达到对“一般”的解决.例5(2015年浙江卷)已知e1,e2是平面单位向量,且e1·e2=12.若...
