第一章计数原理32《“杨辉三角”与二项式系数的性质》VIP免费

1.3.2杨辉三角与二项式系数的性质1.了解杨辉三角的简单历史，理解二项式系数的性质，应用性质解决一些简单问题．2.根据本节课的内容和学生的实际水平，通过对二项式系数表（杨辉三角）的观察猜想、归纳出二项式系数的性质.为了实现本节课的教学目标，在教法上采用“观察、猜想、归纳、论述、证明、合作交流”的方法。多给学生一点空间、时间,由学生观察、探究与交流.提高归纳猜想能力及表达能力,使学生获得较全面的发展。让学生通过对低阶杨辉三角的观察,猜想并归纳出二项式系数的性质。本节课从杨辉三角出发，直观地认识二项式性质，构造函数.),,2,1,0(nrrnCrf)(利用函数的思想理解二项式系数的对称性、增减性及最大值，并加以严格的证明，按知识的逻辑关系来编排内容。二项式定理(a+b)n=Cn0an+Cn1an-1b1+…+Cnkan-kbk+…+Cnnbn展形式的第k+1项为Tk+1=Cnkan-kbk计算(a+b)n展开式的二项式系数并填入下表：n(a+b)n展开式的二项式系数12345616152015611510105114641133112111对称性(a+b)1(a+b)2(a+b)3(a+b)4(a+b)5(a+b)6议一议1）请看系数有没有明显的规律？2）上下两行有什么关系吗？3）根据这两条规律，大家能写出下面的系数吗?a).表中每行两端都是1。b).除1外的每一个数都等于它肩上两个数的和。4+6=102+1=3例如：crncr-1n+crn+1=当n不大时，可用该表来求二项式系数。C23C22C12+==3C25C24C14+==10因为：1112113311464115101051161520156121346101101CC02C12C22C03C13C23C33C14C04C34C24C44C05C15C25C35C45C55C66C36C46C56C26C16C06C总结提炼1:总结提炼1:1101CC02C12C22C03C13C23C33C14C04C34C24C44C05C15C25C35C45C55C66C36C46C56C26C16C06C第1行———第2行——第6行-第5行--第4行—第3行—-11121133114641151010511615201561对称总结提炼2:总结提炼2:与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等mnnmnCC当n为偶数如2、4、6时，中间一项最大当n为奇数如1、3、5时，中间两项最大(a+b)1(a+b)3(a+b)4(a+b)5(a+b)201C11C02C12C22C03C13C23C33C05C15C25C35C45C55C(a+b)6(a+b)n06C16C26C36C46C56C66C04C14C24C34C44CCn0Cn1Cn2CnrCnn……16152015611112113311464115101051知识探究3:知识探究3:①每行两端都是1Cn0=Cnn=1②从第二行起，每行除1以外的每一个数都等于它肩上的两个数的和Cn+1m=Cnm+Cnm-1(a+b)1(a+b)2(a+b)3(a+b)4(a+b)5(a+b)6+++++++++++++++杨辉三角杨辉三角《九章算术》杨辉《详解九章算法》中记载的表杨辉三角类似上面的表,早在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里就已经出现了，这个表称为杨辉三角.在书中，还说明了表里“一”以外的每一个数都等于它肩上两个数的和，杨辉指出这个方法出于《释锁》算书，且我国北宋数学家贾宪（约公元11世纪）已经用过它.这表明我国发现这个表不晚于11世纪.在欧洲，这个表被认为是法国数学家帕斯卡（1623-1662）首先发现的，他们把这个表叫做帕斯卡三角.这就是说，杨辉三角的发现要比欧洲早五百年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的.二项式系数的性质展开式的二项式系数依次是：nba)(nnnnnC,,C,C,C210从函数角度看，可看成是以r为自变量的函数,其定义域是：rnC)(rfn,,2,1,0当时，其图象是右图中的7个孤立点．6n①对称性与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．这一性质可直接由公式得到．mnnmnCC图象的对称轴：2nr二项式系数的性质②增减性与最大值kknkkknnnnknkn1C)!1()1()2)(1(C1由于：所以相对于的增减情况由决定knC1Cknkkn1二项式系数的性质由：2111nkkkn二项式系数前半部分是逐渐增大的，由对称性可知它的后半部分是逐渐减小的，且中间项取得最大值。21nk可知，当时，②增减性与最大值二项式系数的性质因此,当n为偶数时,中间一项的二项式2Cnn系数取得最大值；当n为奇数时,中间两项的二项式系数12Cnn12Cnn相等，且同时取得最大值。②增减性与最大值二项式系数的性质③各二项式系数的和在二项式定理中，令，则：1bannnnnn2CCCC210这就是说，的展开式的各二项式系数的和等于：nba)(...