BCDA第二讲一元二次方程根的判别式及根与系数的关系一、趣题引路：在株洲市开展的创文明城活动中，某居民小区要在一块靠墙（墙长15m）的空地上修建一个矩形花园ABCD，花园的一边靠墙，另三边用总长为40m的栅栏围成（如图所示），若设花园的BC边长为m，花园的面积为m2。（1）求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（2）满足条件的花园面积能达到200m2吗？若能，求出此时的值；若不能，说明理由；（3）满足条件的花园面积能达到225m2吗？若能，求出此时的值；若不能，说明理由；（4）当取何值时，花园的面积最大？最大面积为多大？【归纳与反思】一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式为：△=______________.作用:(1)不解方程，判断方程根的情况,解决与根的情况有关的问题.当△＞0时，方程有____________的实数根；当△＝0时，方程有____________的实数根，当△＜0时，方程____________实数根．(2)对于字母系数的一元二次方程，若知道方程根的情况，可以确定判别式大于零、等于零还是小于零，从而确定字母的取值范围二、基础知识运用例题：【例1】不解方程，判断下列一元二次方程的根的情况：（1）（2）【归纳与反思】【例2】当m分别满足什么条件时，方程2x2-(4m+1)x+2m2-1=0,（1）有两个相等实根；（2）有两个不相等实根；（3）无实根；(4)有两个实根.【归纳与反思】【例3】设x1,x2是方程x2－6x+3=0的两个根，求下列各式的值：(1)x12x2+x1x22(2)+【归纳与反思】一元二次方程的根与系数的关系：(1)如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根是x1，x2，那么，(2)如果方程x2+px+q=0的两个根是x1，x2，那么作用:利用一元二次方程的根与系数的关系求有关两根的代数式的值。【例4】设x1，x2是方程2x2－6x＋3＝0的两根，则x12＋x22的值是（）（A）15（B）12（C）6（D）3【归纳与反思】三、能力提高例题：【例5】m取什么值时，方程.(1)有两个实根；(2)有一个根为零；(3)两根异号；【归纳与反思】【例6】已知关于的方程有两个实数根，并且这两个根的平方和比这两个根的积大16，求的值。【归纳与反思】【例7】若关于x的一元二次方程x2-3(m+1)x+m2-9m+20=0有两个实数根，又已知a、b、c分别是△ABC的∠A、∠B、∠C的对边，∠C=90°，且=,b-a=3,是否存在整数m,使上述一元二次方程两个实数根的平方和等于Rt△ABC的斜边的平方？若存在，请求出满足条件m的值；若不存在，说明理由.【归纳与反思】四、知识运用巩固训练：等级1、（2011河南）下列方程①；②；③；④中，无实根的方程是。2、若关于的一元二次方程有两个不相等的实根，则的取值范围是（）A、B、≤C、且≠2D、≥且≠23、（2011广东）设、是方程的两根，则①＝；②＝；③＝。4、关于x的方程x2-6x+p=0两根为α、β,且2α+3β=20，则p=。5、已知关于的方程（1）当取何值时，方程有两个不相等的实数根？（2）设、是方程的两根，且，求的值。6、（2011四川）关于的一元二次方程x2+2x+k+1=0的实数解是x1和x2。（1）求k的取值范围；（2）如果x1+x2—x1x2＜－1且k为整数，求k的值。
