专题15空间线线距、异面直线间的距离、线面距和面面距的求法VIP专享VIP免费

1第15讲：空间线线距、异面直线间的距离、线面距和面面距的求法【考纲要求】1、了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式）。2、了解向量方法在研究几何问题中的应用.[来源:学*科*网]【基础知识】一、四种距离的定义及常见求法常见求法①几何法：先证线段ＡＢ为异面直线ba,的公垂线段，然后求出ＡＢ的长即可．②向量法：如下图所示，a、b是两异面直线，n是a和b的法向量，点E∈a，F∈b，则异面直线a与b之间的距离是nnEFd；平行平面Error:Referencesourcenotfound之间的距离Error:Referencesourcenotfound，其中Error:Referencesourcenotfound2新疆源头学子小屋特级教师王新敞http://www.xjktyg.com/wxc/wxckt@126.comwxckt@126.comhttp://www.xjktyg.com/wxc/王新敞特级教师源头学子小屋新疆Error:Referencesourcenotfound是平面Error:Referencesourcenotfound的法向量3新疆源头学子小屋特级教师王新敞http://www.xjktyg.com/wxc/wxckt@126.comwxckt@126.comhttp://www.xjktyg.com/wxc/王新敞特级教师源头学子小屋新疆二、上面四种距离都是对应图形上两点间的最短距离。所以均可以用求函数的最小值法求各距离.。三、上面四种距离是可以相互转化的，最终都可以转化成点点距来求解。四、在上面四种距离的解法中，最常用的是几何的方法和向量的方法。【方法讲评】4ABCDOSxyz图2异面直线间的距离方法一几何法使用情景异面直线的公垂线段存在或比较容易作出。解题步骤证线段ＡＢ为异面直线ba,的公垂线段Error:Referencesourcenotfound求出ＡＢ的长即可．方法二向量法使用情景异面直线的公垂线段不存在或不容易作出，根据已知条件比较容易建立坐标系，写出点的坐标。解题步骤建立空间直角坐标系Error:Referencesourcenotfound求a和b的法向量Error:Referencesourcenotfound(a、b是两异面直线)Error:Referencesourcenotfound求向量Error:Referencesourcenotfound(点E∈a，F∈b，)Error:Referencesourcenotfound代入异面直线a与b之间的距离公式nnEFd例1．如图2，正四棱锥SABCD的高2SO，底边长2AB。求异面直线BD和SC之间的距离？分析：建立如图所示的直角坐标系，则22(,,0)22A，22(,,0)22B，[来源:Zxxk.Com]22(,,0)22C，22(,,0)22D，(0,0,2)S。(2,2,0)DB�，22(,,2)22CS�。令向量(,,1)nxy，且,nDBnCS��，5则00nDBnCS����，(,,1)(2,2,0)022(,,1)(,,2)022xyxy，0220xyxy，22xy，(2,2,1)n。例2如图，已知正方体ＡＢＣＤ－1A1B1C1D棱长为a，求异面直线ＢＤ与1BＣ的距离．解法一：连结ＡＣ交ＢＤ的中点Ｏ，取1CC的中点Ｍ，连结ＢＭ交CB1于Ｅ，连1AC，则1//ACOM，过Ｅ作ＥＦ／／ＯＭ交ＯＢ于Ｆ，则1//ACEF。又斜线1AC的射影为ＡＣ，ＢＤＡＣ，BDFEACBD,1。同理CBEFCBAC111,，EF为ＢＤ与CB1的公垂线，由于Ｍ为1CC的中点，MEC∽1BEB，211BEMEBBMC。,25BMaMBBE3532，ＥＦ／／ＯＭ，32BMBEBOBF，故32BFＯＢ＝a32，aBFBEEF3322．ＭＯＡＢＣＤ1A1C1DＦＥ6解法三．（转化为面面距）易证平面CDB11／／平面BDA1，用等体积法易得Ａ到平面距离为OCORt1斜边上的高aaaaCOOOOCh33232211。解法五。（函数最小值法）如图，在上取一点M，作MEBC于E，过E作ENBD交BD于N，易知MN为BD与CB1的公垂线时，MN最小。设BE=x，CE=ME=xa，EN=x22，MN==2221xax=22223aaxx=3232322aax。当时ax32，时，aMN33min。【点评】求异面直线间的距离的方法较多，可以根据具体情况灵活选用。【变式演练1】正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，求异面直线A1C1与AB1间的距离.直线到平面的距离方法一几何法7使用情景直线上一点在平面的射影位置比较容易确定。解题步骤找Error:Referencesourcenotfound作Error:Referencesourcenotfound证（定义）Error:Referencesourcenotfound求（解三角形）方法二向量法使用情景直线上的点在平面内的射影位置不好确定，根据已知条件比...