《2.4.3抛物线方程及性质的应用》同步练习一、选择题(每小题3分，共18分)1.(2014·安阳高二检测)过点(-1，0)且与抛物线y2=x有且仅有一个公共点的直线有()A.1条B.2条C.3条D.4条【解析】选C.点(-1，0)在抛物线y2=x的外部，故过(-1，0)且与其有且仅有一个公共点的直线有三条，其中两条为切线，一条为x轴.【举一反三】若把本题中的点(-1，0)改为(1，1)，则此时与y2=x只有一个公共点的直线有()A.1条B.2条C.3条D.4条【解析】选B.因为点(1，1)在抛物线y2=x上，所以作与y2=x只有一个公共点的直线有两条，其中一条为切线，一条为平行于x轴的直线.2.(2014·莆田高二检测)若抛物线y2=x上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)关于直线y=x+b对称，且y1y2=-1，则实数b的值为()A.-3B.3C.2D.-2【解析】选D.因为A，B关于直线y=x+b对称，故kAB=-1，设AB的方程为y=-x+t，与y2=x联立，消去x得y2+y-t=0，所以y1+y2=-1，y1·y2=-t=-1，所以t=1，得x1+x2=3.由AB的中点在直线y=x+b上，所以，即-=+b，得b=-2.3.(2013·新课标全国卷Ⅱ)设抛物线C:y2=4x的焦点为F，直线l过F且与C交于A，B两点.若|AF|=3|BF|，则l的方程为()A.y=x-1或y=-x+1B.y=(x-1)或y=-(x-1)C.y=(x-1)或y=-(x-1)D.y=(x-1)或y=-(x-1)【解析】选C.由题意，可设|BF|=x，则|AF|=3x，设直线l与抛物线的准线相交于点M，则由抛物线的定义可知:|MB|=2x，所以直线l的倾斜角为60°或120°，即直线l的斜率为±，故选C.【拓展延伸】“中点弦”处理方法当涉及弦中点的坐标、弦所在直线斜率之间的关系时，可以“设而不求”，采用平方差法.(1)代端点.把弦的两端点坐标(x1，y1)，(x2，y2)代入圆锥曲线方程.(2)“平方差”.将两方程作差，利用平方差公式.(3)得斜率.把x1+x2=2x0，y1+y2=2y0(中点坐标(x0，y0))代入可得，即直线的斜率.(4)求结论.由点斜式求直线方程或代入转化求其他.二、填空题(每小题4分，共12分)4.(2014·广州高二检测)设A，B是抛物线y=-x2上的两个动点，且|AB|=6，则AB的中点M到x轴的距离的最小值为.【解析】当线段AB过抛物线的焦点时，AB的中点M到x轴的距离最小.因为|AB|=6，结合抛物线的定义知，A，B两点到准线的距离之和为6，所以中点M到准线的距离为3，另抛物线y=-x2化为x2=-4y，其准线为y=1，则AB的中点M到x轴的距离为2.答案:2
