第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入4.1平面向量的概念及其线性运算一、知识点1．向量的有关概念(1)向量：既有大小，又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模．(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．2．向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则(1)交换律：a＋b＝b＋a；(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差三角形法则a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算(1)|λa|＝|λ||a|；(2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb3．共线向量定理：向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa.二、考点分析考点一向量的有关概念1.给出下列命题：①若|a|＝|b|，则a＝b；②若A，B，C，D是不共线的四点，则＝是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；③若a＝b，b＝c，则a＝c；④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b；⑤若a∥b，b∥c，则a∥c.其中正确命题的序号是()A．②③B．①②C．③④D．④⑤考点二向量的线性运算(2013·江苏高考)设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC.若＝λ1＋λ2(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．考点三共线向量定理的应用设两个非零向量a与b不共线，(1)若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，求证：A，B，D三点共线．(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．三、例题巩固1.如图，已知＝a，＝b，＝3，用a，b表示，则＝()A．a＋bB.a＋bC.a＋bD.a＋b2．(2013·贵阳监测考试)已知向量a，b，c中任意两个都不共线，但a＋b与c共线，且b＋c与a共线，则向量a＋b＋c＝()A．aB．bC．cD．03.(2013·“江南十校”联考)如图，在△ABC中，∠A＝60°，∠A的平分线交BC于D，若AB＝4，且＝＋λ(λ∈R)，则AD的长为()A．2B．3C．4D．54．(2014·哈尔滨四校联考)在△ABC中，N是AC边上一点，且＝，P是BN上的一点，若＝m＋，则实数m的值为()A.B.C．1D．35．(2014·大连高三双基测试)设O在△ABC的内部，且有＋2＋3＝0，则△ABC的面积和△AOC的面积之比为()A．3B.C．2D.6．在▱ABCD中，＝a，＝b，＝3，M为BC的中点，则＝________(用a，b表示)．7．(2013·淮阴模拟)已知△ABC和点M满足＋＋＝0.若存在实数m使得＋＝m成立，则m＝________.8.如图，在△ABC中，设＝a，＝b，AP的中点为Q，BQ的中点为R，CR的中点恰为P，则等于________．
