参考答案（130911）如图，在△ABC中，∠A＝，△ABC的内角或外角平分线交于点P，且∠P＝，试探求下列各图中与的关系，并选择一个加以说明。解：（1）β=90°+α；（2）β=α；（3）β=90°-α．解：在图（1）中，根据三角形内角和定理可得：∠ABC+∠ACB=180°-∠A．∵BP与CP是△ABC的角平分线，∴∠PBC=∠ABC，∠PCB=∠ACB，∴∠PBC+∠PCB=（∠ABC+∠ACB）=90°-α．在△PBC中，∠BPC=180°-（∠PCB+∠PCB）=180°-（90°-α）=90°+α．∴β=90°+α．解：图（2），结论：∠BPC=∠A．证明如下：∵BP与CP分别是∠ABC与∠ACE的角平分线，∴∠PBC=∠ABC，∠PCE=∠ACE，∴∠P=∠PCD-∠PBC=（∠ACD-∠ABC）∵∠A=∠ACD-∠ABC∴∠P=∠A．∴β=α；（3）∵BP、CP分别是△ABC两个外角∠CBD和∠BCE的平分线，∴∠CBP=∠CBD，∠BCP=∠BCE，∵∠CBD=（∠A+∠ACB），∠BCP=（∠A+∠ABC）∠CBP=（∠A+∠ACB），∠BCP=（∠A+∠ABC）(1)PCBA∴∠BPC=180°-∠CBP-∠BCP=180°-∠A-（∠ABC+∠ACB）=180°-∠A-（180°-∠A）=90°-A，∴∠P与∠A的关系是：∠P=90°-α．2、如图，BE与CD相交于点A,CF为∠BCD的平分线，EF为∠BED的角平分线。∠F.∠B和∠D之间有着怎样的等量关系？说明理由解：如图（1）∵CF平分∠BCD，EF平分∠BED∴∠1=∠2，∠3=∠4∵在△DME和△FMC中，有一对对顶角，即∠DME=∠FMC∴∠D+∠1=∠F+∠3又∵在△BNC和△FNE中，有一对对顶角，即∠BNC=∠FNE∴∠B+∠4=∠F+∠2∴∠D+∠1+∠B+∠4=∠F+∠2+∠F+∠3【以上两式相加】∴∠D+∠B=2∠F2、在等腰三角形ABC中，AB=AC,一腰上的中线BD将这个等腰三角形的周长分为15和6两部分，求该三角形的腰长和底边长.解：设△ABC中，AB＝AC＝2X，因为BD是中线，易知AD＝CD＝X，所以AB＋AD＝3X，根据题意得：3X＝15或3X＝6解得X＝5或X＝2当X＝5时，AB＝AC＝10，BC＝6－5＝1当X＝2时，AB＝AC＝4，BC＝15－2＝13（4、4、13不能构成三角形，不合题意）所以三角形的腰长是10，底边长是1
