2012年全国中考数学压轴题分类解析汇编专题4：三角形四边形存在性问题31.（2012黑龙江绥化10分）如图，四边形ABCD为矩形，C点在x轴上，A点在y轴上，D点坐标是（0，0），B点坐标是（3，4），矩形ABCD沿直线EF折叠，点A落在BC边上的G处，E、F分别在AD、AB上，且F点的坐标是（2，4）．（1）求G点坐标；（2）求直线EF解析式；（3）点N在x轴上，直线EF上是否存在点M，使以M、N、F、G为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出M点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】解：（1）由已知得，FG=AF=2，FB=1。 四边形ABCD为矩形，∴∠B=90°。∴。∴G点的坐标为（3，4－）。（2）设直线EF的解析式是y=kx+b，在Rt△BFG中，，∴∠BFG=60°。∴∠AFE=∠EFG=60°。∴AE=AFtan∠AFE=2tan60°=2。∴E点的坐标为（0，4－2）。又F点的坐标是（2，4），∴，解得。∴直线EF的解析式为。1（3）存在。M点的坐标为（），（），（）。【考点】一次函数综合题，矩形的性质，折叠性质，勾股定理，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质。【分析】（1）根据折叠性质可知FG=AF=2，而FG=AB－AF=1，则在Rt△BFG中，利用勾股定理求出BG的长，从而得到CG的长，从而得到G点坐标。（2）由题意，可知△AEF为含30度角的直角三角形，从而可求出E点坐标；又F点坐标已知，所以可利用待定系数法求出直线EF的解析式。（3）分FG为平行四边形边和对角线两种情况讨论，探究可能的平行四边形的形状：若以M、N、F、G为顶点的四边形是平行四边形，则可能存在以下情形：①FG为平行四边形的一边，且N点在x轴正半轴上，如图1所示。过M1点作M1H⊥x轴于点H，易证△M1HN1≌△GBF，∴M1H=GB=，即yM1=。由直线EF解析式，求出。∴M1（）。②FG为平行四边形的一边，且N点在x轴负半轴上，如图2所示。仿照与①相同的办法，可求得M2（）。③FG为平行四边形的对角线，如图3所示。过M3作FB延长线的垂线，垂足为H．易证△M3FH≌△GN3C，则有M3H=CG=4，所以M3的纵坐标为8－。代入直线EF解析式，得到M3的横坐标为。∴M3（）。2综上所述，存在点M，使以M、N、F、G为顶点的四边形是平行四边形，点M的坐标为：M1（），M2（），M3（）。32.（2012黑龙江黑河、齐齐哈尔、大兴安岭、鸡西10分）如图，在平面直角坐标系中，已知Rt△AOB的两条直角边0A、08分别在y轴和x轴上，并且OA、OB的长分别是方程x2—7x+12=0的两根(OA<0B)，动点P从点A开始在线段AO上以每秒l个单位长度的速度向点O运动；同时，动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A运动，设点P、Q运动的时间为t秒．(1)求A、B两点的坐标。(2)求当t为何值时，△APQ与△AOB相似，并直接写出此时点Q的坐标．(3)当t=2时，在坐标平面内，是否存在点M，使以A、P、Q、M为顶点的四边形是平行四边形?若存在，请直接写出M点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】解：（1）由x2－7x+12=0解得x1=3，x2=4。 OA＜OB，∴OA=3,OB=4。∴A(0，3)，B(4，0)。(2)由OA=3,OB=4，根据勾股定理，得AB=5。由题意得，AP=t,AQ=5－2t。分两种情况讨论：①当∠APQ=∠AOB时，如图1，△APQ∽△AOB。∴，即解得t=。∴Q（）。②当∠AQP=∠AOB时，如图2，△APQ∽△ABO。∴，即解得t=。∴Q（）。（3）存在。M1（），M2（），M3（）。3【考点】动点问题，解一元二次方程，勾股定理，相似三角形的性质，平行四边形的判定。【分析】（1）解出一元二次方程，结合OA＜OB即可求出A、B两点的坐标。（2）分∠APQ=∠AOB和∠AQP=∠AOB两种情况讨论即可。（3）当t=2时，如图，OP=2，BQ=4，∴P（0，1），Q（）。若以A、P、Q、M为顶点的四边形是平行四边形，则①当AQ为对角线时，点M1的横坐标与点Q的横坐标相同，纵坐标为。∴M1（）。②当PQ为对角线时，点M2的横坐标与点Q的横坐标相同，纵坐标为。∴M2（）。③当AP为对角线时，点Q、M3关于AP的中点对称。由A(0，3)，P（0，1）得AP的中点坐标为（0，2）。由Q（）得M3的横坐标为，纵坐标为。∴M3（）。综上所述，若以A、P、Q、M为顶点的四边形是平行四边形，则M点的坐标为（）或（）或...
