第三章泊松过程3.1泊松过程的定义•定义3.1随机过程{N(t)，t0}是计数过程，如果N(t)表示到时刻t为止已发生的事件A的总数，且N(t)满足条件(1)N(t)0;(2)N(t)取整数;(3)若s0)，事件A发生的次数N(t+s)-N(t)仅与时间间隔s有关，而与初始时刻t无关3.1泊松过程的定义•定义3.2：称计数过程{X(t)，t0}是泊松过程，如果X(t)满足(1)X(0)=0;(2)X(t)是独立增量过程;(3)在任一长度为t的区间中，事件A发生的次数服从参数t>0(参数>0)的泊松分布，即对任意s,t0，有()()(),!0,1,2,nttPXtsXsnenn3.1泊松过程的定义例例在(0,t]内接到服务台咨询电话的次数X(t)，在(0,t]内到某火车站售票处购买车票的旅客数X(t)等。☆注：泊松过程是平稳增量过程3.1泊松过程的定义•定义3.3：称计数过程{X(t)，t0}是泊松过程，如果X(t)满足(1)X(0)=0；(2)X(t)是平稳、独立增量过程；(3)X(t)满足下列两式(参数>0)X()X()1()X()X()2()PththohPthtoh可以证明，泊松过程的两种定义是等价的。3.2泊松过程的性质•一、数字特征设{X(t),t0}是参数为的泊松过程，对任意t,s[0,+)，若st}发生当且仅当在[0,t]内没有事件发生T1服从均值为1/的指数分布1111()0()(0)0()11ttTPTtPXtPXtXeFtPTtPTteT1tW103.2泊松过程的性质(2)n=2P{T2>t|T1=s}=P{在(s,s+t]内没有事件发生|T1=s}=P{X(s+t)-X(s)=0|X(s)-X(0)=1}=P{X(s+t)-X(s)=0}T2服从均值为1/的指数分布tT2T1=sW2W10s+tstTetTPtTPtF11)(222te3.2泊松过程的性质(3)n1TnTn-1=sn-1T2=s2T1=s1tWn-2W2W10Wn-1WntnnTtnnnnnetTPtTPtFessXtssXPsTsTtTPn11)(0)()(,,|111111113.2泊松过程的性质•等待时间Wn的分布定理3.3设{X(t),t0}是参数为的泊松过程，{Wn,n1}是相应等待时间序列，则Wn服从参数为n与的分布，概率密度为0,00,)!1()()(1ttntetfntWn3.2泊松过程的性质证，Ti为时间间隔1(1)nniiWTnTnT2T1tW2W10Wn-1Wn)!1()()!1()(!)(!)(!)()()()(111ntejtejtejtjejtedttdFtfntjnjtjnjtjnjtjnjtWWnn•即是n个相互独立且同服从指数分布的随机变量之和的分布。（参数为n与的分布又称爱尔兰分布）3.2...
