随机信号第7讲(习题)VIP免费

第第11次习题课次习题课简答题:(1)简述严平稳随机过程的两个性质?答:严平稳随机过程X(t)的一维概率密度函数与时间无关,二维概率密度函数只与两个时刻t1和t2的时间间隔有关.(2)简述高斯过程有着其他随机过程没有的2个性质?答:性质1：宽平稳高斯过程一定是严平稳过程。性质2：若平稳高斯过程在任意两个不同时刻ti,tj是不相关的，那么也一定是互相独立的。(3)什么是白噪声?它的自相关函数是怎样的形式?)(2)(,2)()(00NRwNwStNNN的性质自相关函数有冲激响应则称它是白噪声。它的常数，即范围内的功率谱密度为整个频率的数学期望为零，并在答：如果平稳过程1.1离散随机变量X由0,1,2,3四个样本组成,相当于四元通信中的四个电平,四个样本的取值概率顺序为1/2,1/4,1/8和1/8,求随机变量的数学期望和方差.8781*381*241*121*01][ixipiXE解：647181*)87(81*)89(41*)81(21*)87()87(])[(][22222121pixipixExixDii学期望和方差。上均匀分布，求它的数在随机变量],[4.1X22*1)(][,,01)(2xdxxxfxExxfX所以其他数：以些出它的概率密度函服从均匀分布，所以可解：因为12)(])[(][][)(33*1)(][22233322xExExDxdxxfxxE所以1.7设随机过程X的数学期望和方差分别为m和σ,求随机过程Y=-3X-2的数学期望和方差及X和Y的相关矩.解:Y的数学期望和方差分别为:E[Y]=E[-3X-2]=-3E[X]-2=-3m-2D[Y]=D[-3X-2]=(-3)2D[X]=9σX和Y的相关矩为:RXY=E[XY]=E[X(-3X-2)]=-3E[X2]-2E[X]=-3[D[X]+E[X]2]-2m=-3σ-3m2-2mniiXjwcniiijwcYwaeXajwEeWi11)()][exp()(：根据特征函数的性质得，的特征函数为则，的特征函数为解：设)()(WaXaWXiXiiXiii是常数。和的特征函数，他们的线性组合的特征函数，求量已知互相独立的随机变c,....,.15.11n21iniiiacXaYXXX例题:设随机变量X为均匀分布,其概率密度求X的特征函数解:由特征函数定义得:)(0)(1)(其他bxaabxfXjwabjwxdxabeeEwebabajwxjwx)(][)()(abjweejwajwbaedxeaxax2.1随机过程X(t)=Acos(wt)+Bsin(wt),其中w为常数,A,B是两个互相独立的高斯变量,并且E[A]=E[B]=0,E[A2]=E[B2]=σ2求X(t)的数学期望和自相关函数.解:根据数学期望和自相关函数的定义可得:E[X(t)]=E[Acos(wt)+Bsin(wt)]=E[A]cos(wt)+E[B]sin(wt)=0)(cos)sin(sin][)cos(cos][)sin(sin][)cos(sin][)sin(cos][)cos(cos][))](sin)(cos)(sincos[()]()([),(22222XXRwwwtwtBEwwtwtAEwwtwtBEwwtwtABEwwtwtABEwwtwtAEtwBtwAwtBwtAEtXtXEttR2.5证明由不相关的两个任意分布的随机变量A,B构成的随机过程X(t)=Acoswt+Bsinwt是宽平稳的.其中w为常数,A,B的数学期望为零,方差σ2相同.证明:由已知条件得:E[A]=E[B]=0,D[A]=D[B]=σ2E[AB]=E[A]E[B]=0,E[A2]=E[B2]=σ2所以可以得到:E[X(t)]=E[Acos(wt)+Bsin(wt)]=E[A]cos(wt)+E[B]sin(wt)=0)(cos)sin(sin][)cos(cos][))](sin)(cos)(sincos[()]()([),(222XXRwwwtwtBEwwtwtAEtwBtwAwtBwtAEtXtXEttR因为数学期望为常数,自相关函数只与时间间隔有关,且E[X2(t)]=RX(0)=σ2<∞所以X(t)为宽平稳过程.2.6由三个样本函数x1(t)=2,x2(t)=2cost,x3(t)=3sint组成的随机过程x(t)每个样本函数发生的概率相等。是否满足严平稳或者宽平稳的条件？21212121sinsin3)coscos1(34sin3*sin3*31cos2*cos2*312*2*31)]()]([),()sincos1(32sin3*32cos2*3132][tttttttttXtXEttRtttttEX解：不满足平稳的条件所以间有关，关，自相关函数也与时因为数学期望与时间有)(tX0sincoslim)cos(21lim)()(000TwTwadttwaTtXtXTT的时间均值：解：各态历经过程。是满足什么条件时，数或者随机变量，问可能是常数，时间函，内均匀分布的随机变量是在已知随机过程)()2,0(),cos()(7.20tXAAtwAtX2])(cos[)cos(2...