矩阵的特征值与特征向量VIP免费

第四章矩阵的特征值第四章矩阵的特征值矩阵的特征值、特征向量和相似标准形的理论是矩阵理论的重要组成部分.它们不仅在数学的各分支，如微分方程、差分方程中有重要应用，而且在其他科学技术领域和数量经济分析等各领域也有广泛的应用.如物理、力学和工程技术中的许多问在数学上都归结为求矩阵的特征值和特征向量的问题112232013.131A,A,A12310201.23111A,,,引例引例矩阵与向量的乘法矩阵与向量的乘法设4.14.1特征值和特征向量特征值和特征向量是原像的倍数.二元实向量1，2的像A1，A23与A3就不具有这个性质.一、矩阵的特征值与特征向量的概念、矩阵的特征值与特征向量的概念定义定义4.14.1设设AA是是nn阶矩阵，如果数阶矩阵，如果数和和nn维维非零非零列向量列向量成立使关系式成立使关系式AA==那么，这样的数那么，这样的数称为方阵称为方阵AA的的特征值特征值，，非零向量非零向量称为称为AA的对应于特征值的对应于特征值的的特征向特征向量量..为什么应该是非零向量？应该是非零向量？为非零解。所以的解。因为是因为特征向量,00)(AIxAI二、矩阵的特征值与特征向量的求法二、矩阵的特征值与特征向量的求法为了进一步讨论矩阵A的特征值和特征向量的计算方法，把定义公式AA==改写成(I–A)=0即是齐次线性方程组(I–A)x=0的非零解.det(I–A)=0由齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是特征多项式和特征方程的定义特征多项式和特征方程的定义定义定义4.24.2设设AA=(=(aaijij))为为nn阶矩阵，阶矩阵，含有未知数含有未知数的矩阵的矩阵II––AA称为称为AA的的特征矩特征矩阵阵..其行列式其行列式111212122212det()nnnnnnaaaaaaIAaaa称为称为AA的的特征多项式特征多项式..det(det(II––AA)=0)=0称为称为AA的的特征方程特征方程..推论推论11如果如果是是AA的属于的属于00的特征向的特征向量，量，则则cc(c(c00为任意常数为任意常数))也是也是AA的属于的属于00的特的特征向量征向量..推论推论22如果如果11,,22都是都是AA的属于的属于00的的特征特征向量，且向量，且11++2200，则，则11++22也都是也都是AA的属的属于于00的特征向量的特征向量..由齐次线性方程组解的性质:011101,110A例例设矩阵求A的特征值与特征向量.三、举例三、举例解解111111IAA的特征多项式为,1))(2(2所以，A的特征值为,12321,,0)2(xAI当21时,解方程组,0211121112321xxx即解之得基础解系为,p1111所以11pk是对应于的全部特征向量;21011101110A当,0)(xAI132时,解方程组得基础解系：,10101132p,p,0111111111321xxx011101110A所以3322pkpk是对应于的全部特征向量.132220212,020A例例设矩阵求A的特征值.22021202IA解解A的特征多项式为),4)(1)(2(所以，A的特征值为.412321,,特征值的计算不容易！！例n阶对角矩阵A，上(下)三角形矩阵B的特征值都是它们的n个主对角元a11,a22,,ann.因为它们的特征多项式为I–A=I–B=(–a11)(–a22)(–ann)练习110430.102A求矩的特征值和特征向量解2110430(2)(1),102AEA的特征多式.1,2321的特征值为所以A3101002410~010100000,IA100,1p...