第三章随机向量及其分布§3.1随机向量的概念及其分布函数§3.2二维离散型随机向量§3.3二维连续型随机向量§3.4二维随机向量函数的分布许多随机试验的结果ω，需要用n(n≥2)个的随机变量X1,X2,…,Xn同时来描述，这n个的随机变量一起构成随机向量(二维或多维随机向量)。例如，一次射击的弹着点的平面坐标可看作是二维随机向量(X,Y)；气象观测站观测每天某整点的天气状况，可将温度、湿度、风力和风向等观测值可看作多维随机向量(X1,X2,…,Xn)；又如学生体检时的各项检查指标值可看作多维随机向量。由于同一个随机试验结果的各个随机变量之间一般有某种联系，因而需要把这些随机变量作为一个整体(即多维随机向量)来研究。需要讨论多维随机向量的各个随机变量分量，更需要研究这些分量与多维随机变量整体性质的联系。从几何角度看，一维随机变量就是第2章讨论的随机变量，它可看作是直线(一维空间)上的随机点；二维随机变量可看作是平面(二维空间)上的随机点；三维随机变量可看作三维空间中的随机点。由一维到多维的讨论会增添许多新问题，但二维与n维(n≥3)没有本质上的区别。本章由随机向量的联合分布与边缘分布的一般概念入手，然后重点讨论二维离散型和二维连续型随机向量的联合分布与边缘分布，最后介绍二维随机向量函数的分布。n(n≥3)维的情况可以类推。§3.1随机向量的概念及其分布函数3.1.1随机向量的定义和联合分布定义3.1.1设(Ω,,P)为概率空间，如果Xi为随机变量(i=1,2,…,n)，则称向量(X1,X2,…,Xn)为随机向量。说明随机向量(X1,X2,…,Xn)是基本事件空间Ω到n维实数空间Rn的一个映射：即随机向量是一个取向量值的随机变量的有序集合。也称随机向量为多维随机变量。随机向量的统计特性(分布规律)由随机向量的联合分布函数来刻画。12((),(),,())RnnωXωXωXω定义3.1.2设(Ω,,P)为概率空间，(X1,X2,…,Xn)为其上的随机向量，它的联合分布函数定义为说明：分布函数在点(x1,x2,…,xn)处的值是一个事件的概率，该事件由使得随机向量(X1(ω),X2(ω),…,Xn(ω))落入以(x1,x2,…,xn)为顶点的半无限区域(-∞,x1)×(-∞,x2)×…,×(-∞,xn)的ω构成。以下定理说明了可用联合分布函数刻画随机向量的统计特性。1212,,,121122121,,,12111(,,,)(:(),(),,()):{()}(,,,)(,,,),,,或简记为，nnXXXnnnnniininXXXnnniiiFxxxPωΩXωxXωxXωxPωΩXωxxxxFxxxPXxXxPXxR定理3.1.1设(Ω,,P)为概率空间，随机向量(X1,X2,…,Xn)的联合分布函数为，则12,,,nXXXF121212,,,1212,,,1211212,,,12=1,2,(1)0(,,,)1(,,,)lim(,,,)=0=1,2,,()lim(,,,)，，可以是；或，；；或,，,RnnininXXXnnXXXnxnXXXnxinFxxxxxxFxxxinxxxxxxFxxx1212121212121,,,12,,,,,,12,,,12=lim(,,,)=(,,,)=1(2)(,,,)(=1,2,,)()(=1,2,,),,(,,,,，关于每个变元单增不减，即固定且时nnnnnXXXnxxxXXXXXXnijiiXXXiFxxxFFxxxxinxjnjixxFxxx122,,,12,)(,,,,,)nnXXXinxFxxxx1212121212121,,,12,,,12,,,12,,,12,,,12,,,12(3)(,,,)(=1,2,,)(,,,)=(+0,,,),(,,,)=(,+0,,),,(,,,)=nnnnnnXXXniXXXnXXXnXXXnXXXnXXXnXFxxxxinFxxxFxxxFxxxFxxxFxxxF关于每个变元右连续，即212,,,12121122,,,1212(,,,+0)(4)(,,,)0=1,2,(+,+,,+)(,,,)0(,,,)nnXXnnninnXXXnnxxxxxxhinxhxhxhFtttxxxR和，有定理3.1.1的(1)~(3)易于理解，对于(4)以n=2为例证明。12121212121111222211122211222111221122,1122,122,112,1211,110(+,+)(+,+)(,+)(+,)+(,)(+,+)(,+)(+,)+(,)+((,----XXXXXXXXXXPx
