中难题训练（9）1、将一张透明的平行四边形胶片沿对角线剪开，得到图①中的两张三角形胶片△ABC和△DEF．将这两张三角形胶片的顶点B与顶点E重合，把△DEF绕点B顺时针方向旋转，这时AC与DF相交于点O．（1）当△DEF旋转至如图②位置，点B（E），C，D在同一直线上时，∠AFD与∠DCA的数量关系是；（2）当△DEF继续旋转至如图③位置时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由；（3）在图③中，连接BO，AD，探索BO与AD之间有怎样的位置关系，并证明．解：（1）∠AFD=DCA∠．证明： AB=DE，BC=EF，∠ABC=DEF∠，∴△ABCDEF≌△，∴∠ACB=DFE∠，AFD=DCA∴∠∠；（2）∠AFD=DCA∠（或成立），理由如下：方法一：由△ABCDEF≌△，得：AB=DE，BC=EF（或BF=EC），∠ABC=DEF∠，∠BAC=EDF∠，∴∠ABC-FBC=DEF-CBF∠∠∠，ABF=DEC∴∠∠，在△ABF和△DEC中，{AB=DEABF=DEC∠∠BF=EC，∴△ABFDEC≌△，∠BAF=EDC∠，BAC-BAF=EDF-EDC∴∠∠∠∠，∠FAC=CDF∠， ∠AOD=FAC+AFD=CDF+DCA∠∠∠∠，∴∠AFD=DCA∠；方法二：连接AD，同方法一△ABFDEC≌△，∴AF=DC， △ABCDEF≌△，∴FD=CA，在△AFD和△DCA中，{AF=DCFD=CAAD=DA，∴△AFDDCA≌△，∴∠AFD=DCA∠；（3）如图，BOAD⊥．方法一：由△ABCDEF≌△，点B与点E重合，得∠BAC=BDF∠，BA=BD，∴点B在AD的垂直平分线上，且∠BAD=BDA∠，OAD=BAD-BAC ∠∠∠，∠ODA=BDA-BDF∠∠，OAD=ODA∴∠∠，OA=OD∴，点O在AD的垂直平分线上，∴直线BO是AD的垂直平分线，即BOAD⊥；2、如图1，在四边形ABCD中，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF并延长，分别与BA、CD的延长线交于点M、N，则∠BME=CNE∠（不需证明）．（温馨提示：在图1中，连接BD，取BD的中点H，连接HE、HF，根据三角形中位线定理，证明HE=HF，从而∠1=2∠，再利用平行线性质，可证得∠BME=CNE∠．）问题一：如图2，在四边形ADBC中，AB与CD相交于点O，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF，分别交DC、AB于点M、N，判断△OMN的形状，请直接写出结论；问题二：如图3，在△ABC中，AC＞AB，D点在AC上，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF并延长，与BA的延长线交于点G，若∠EFC=60°，连接GD，判断△AGD的形状并证明．解：（1）等腰三角形．（2）判断出直角三角形．证明：如图连接BD，取BD的中点H，连接HF、HE，F 是AD的中点，∴HFAB∥，HF=1/2AB，∴∠1=3∠．同理，HECD∥，HE=1/2CD，∴∠2=EFC∠． AB=CDHF=HE∴，∴∠1=2∠． ∠EFC=60°，∴∠3=EFC=AFG=60°∠∠，∴△AGF是等边三角形． AF=FD，∴GF=FD，∴∠FGD=FDG=30°AGD=90°∠∴∠即△AGD是直角三角形．3、如图，已知△ABC是等边三角形，D、E分别在边BC、AC上，且CD=CE，连接DE并延长至点F，使EF=AE，连接AF、BE和CF．（1）请在图中找出一对全等三角形，用符号“”≌表示，并加以证明；（2）判断四边形ABDF是怎样的四边形，并说明理由；（3）若AB=6，BD=2DC，求四边形ABEF的面积．解：（1）（选证-）△BDEFEC≌．证明： △ABC是等边三角形，∴BC=AC，∠ACB=60度． CD=CE，∴BD=AF=AE，△EDC是等边三角形．DE=EC∴，∠CDE=DEC=60°BDE=FEC=120∠∴∠∠度．又EF=AE，∴BD=FE．∴△BDEFEC≌△．（选证二）△BCEFDC≌△．证明： △ABC是等边三角形，∴BC=AC，∠ACB=60度．又 CD=CE，EDC∴△是等边三角形．∴∠BCE=FDC=60°∠，DE=CE． EF=AE，∴EF+DE=AE+CE．∴FD=AC=BC．BCEFDC∴△≌△．（选证三）△ABEACF≌△．证明： △ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠ACB=BAC=60∠度． CD=CE，∴△EDC是等边三角形．∴∠AEF=CED=60∠度． EF=AE，△AEF是等边三角形．∴AE=AF，∠EAF=60度．∴△ABEACF≌△．（2）解：四边形ABDF是平行四边形．理由：由（1）知，△ABC、△EDC、△AEF都是等边三角形．∴∠CDE=ABC=EFA=60∠∠度．∴ABDF∥，BDAF∥．∴四边形ABDF是平行四边形．（3）解：由（2）知，四边形ABDF是平行四边形．∴EFAB∥，EF≠AB．∴四边形ABEF是梯形．过E作EGAB⊥于G，则EG=2根号3．∴S四边形ABEF=1/2EG•（AB+EF）=1/2×2根号3×（6+4）=10根号3．4、（2009•铁岭）△ABC是等边三角形，点D是射线BC上的一个动点（点D不与...
