数学物理方程第三版答案全VIP专享VIP免费

数学物理方程第三版答案第一章．波动方程§1方程的导出。定解条件1．细杆（或弹簧）受某种外界原因而产生纵向振动，以u(x,t)表示静止时在x点处的点在时刻t离开原来位置的偏移，假设振动过程发生的力服从虎克定律，试证明u(x,t)满足方程uuxEttxx其中为杆的密度，E为氏模量。证：在杆上任取一段，其中两端于静止时的坐标分别为x与xx。现在计算这段杆在时刻t的相对伸长。在时刻t这段杆两端的坐标分别为：xu(x,t);xxu(xx,t)其相对伸长等于令[xxu(xx,t)][xu(x,t)]xux(xx,t)xx0，取极限得在点x的相对伸长为ux(x,t)。由虎克定律，力T(x,t)等于T(x,t)E(x)ux(x,t)其中E(x)是在点x的氏模量。设杆的横截面面积为S(x),则作用在杆段(x,xx)两端的力分别为E(x)S(x)ux(x,t);E(xx)S(xx)ux(xx,t).于是得运动方程(x)s(x)xutt(x,t)ESux(xx)|xxESux(x)|x利用微分中值定理，消去x，再令x0得(x)s(x)utt若s(x)常量，则得(ESux)x2uu(x)2=(E(x))txx即得所证。2．在杆纵向振动时，假设(1)端点固定，(2)端点自由，(3)端点固定在弹性支承上，试分别导出这三种情况下所对应的边界条件。1/40解：(1)杆的两端被固定在x0,xl两点则相应的边界条件为u(0,t)0,u(l,t)0.(2)若xl为自由端，则杆在xl的力T(l,t)E(x)边界条件为u|xl等于零，因此相应的xu|xl=0xu∣x00x同理，若x0为自由端，则相应的边界条件为(3)若xl端固定在弹性支承上，而弹性支承固定于某点，且该点离开原来位置的偏移由函数v(t)给出，则在xl端支承的伸长为u(l,t)v(t)。由虎克定律有Eu∣xlk[u(l,t)v(t)]xkuu)∣xlf(t)其中Ex其中k为支承的刚度系数。由此得边界条件(特别地，若支承固定于一定点上，则v(t)0,得边界条件(uu)∣xl0。x同理，若x0端固定在弹性支承上，则得边界条件u∣x0k[u(0,t)v(t)]xuu)∣x0f(t).即(xEx2ux22u[(1)](1)3.试证：圆锥形枢轴的纵振动方程为Exhxht2其中h为圆锥的高(如图1)证：如图，不妨设枢轴底面的半径为1，则x点处截面的半径l为：xl1hx2所以截面积s(x)(1)。利用第1题，得hx22ux2u(x)(1)[E(1)]2htxhx若E(x)E为常量，则得x2ux22uE[(1)](1)xhxht22/404.绝对柔软逐条而均匀的弦线有一端固定，在它本身重力作用下，此线处于铅垂平衡位置，试导出此线的微小横振动方程。解：如图2，设弦长为l，弦的线密度为，则x点处的力T(x)为T(x)g(lx)且T(x)的方向总是沿着弦在x点处的切线方向。仍以u(x,t)表示弦上各点在时刻t沿垂直于x轴方向的位移，取弦段(x,xx),则弦段两端力在u轴方向的投影分别为g(lx)sin(x);g(l(xx))sin(xx)其中(x)表示T(x)方向与x轴的夹角又sintg于是得运动方程ux.2uuux2[l(xx)]∣xxg[lx]∣xgxtx利用微分中值定理，消去x，再令x0得2uug[(lx)]。xxt25.验证u(x,y,t)1t2x2y2在锥txy>0中都满足波动方程2222u2u2u1222证：函数在锥txy>0对变量u(x,y,t)222txyt2x2y2x,y,t有3u(t2x2y2)2t二阶连续偏导数。且tut22(t2x2y2)323(t2x2y2)52t23(t2x2y2)2(2t2x2y2)u2222(txy)xx33/402ux235t2x2y223t2x2y22x22x2y252u同理t2x2y22t2x22y22t2x25y22t2y所以2ux22uy52u2222222txy2txy.22t即得所证。6.在单性杆纵振动时,若考虑摩阻的影响,并设摩阻力密度涵数(即单位质量所受的摩阻力)与杆件在该点的速度大小成正比(比例系数设为b),但方向相反,试导出这时位移函数所满足的微分方程.解:利用第1题的推导,由题意知此时尚须考虑杆段x,xx...