第卷第“期合肥工业大学学报自然科学版竺二止二二二二乙‘二二二二二二二二等角圆锥螺旋线的形成原理及投影图的绘制方法夏鼎立提要本文用微分儿何理论研究等角圆锥螺旋线的形成原理及表达式,用正投影原理研究它的图示、图解方法,并得出结论等角圆锥螺旋线的水平投影是对数螺线,其方程为“产’。本法只需计算曲线止的一个点,即可用儿何作图方法把它的三面投影绘制出来·此方法简单、方便、’住确。书它用于工程设计上,亦能满足设计的精度要求。关键词等角圆锥螺旋线定倾曲线,对数螺线水平投影,几何作图前言在画法几何学及工程制图中所研究的圆锥螺旋线是变角和等距的,即螺距为常数。由于这种螺旋线与锥面素线的夹角是变化的,因此它不是定倾曲线步一种新的等角圆锥螺旋线已开始应用于机械与电信工程上。。随着科学的发展,但是人们对它的认识技术的进尚属开始,有关它的形成原理和图示、图解理论在画法几何学及工程制图中也未提及。笔者用微分几何学与画法几何的投影理论对等角圆螺旋线的形成条件与图示等角圆锥螺旋线的形成原理及数学表达式、图解方法作初步研究。由微分几何学知道,凡曲率与挠率之比为常数的曲线称为一般螺旋线。圆柱螺旋线就具有这样的性质,它与柱面素线的夹角为定值圆锥面上形成的螺旋线也同样成立。,·因此,这类曲线又称为定倾曲线。这种特性在设正圆锥面上有动点对,、它由。运动到盯,时,在锥面上转过一个动到时在锥面上变化一个角,则,点到原点锥顶的矢径角,当动点由,转也相应增大,如图所示。线方向,当下一,,洲产,、四尹曰、、则二,,“,,此时,胚直线方向也就是的切它与圆雍面素线的夹角。就代表曲线该点的倾角。设圆锥面上曲线对。。在任何一点处,它与锥面素线的夹角为定值,即可推导出此曲线的表达式。收稿日期一一合肥工业大学学报自然科学版里年第卷由图可知,。。二‘户妇、,二,从直角三角形中得到沙一一︸浏一拼以二经整理得到以二丁将式两边同时积分·,·下之窄二丁将式由对数函数换成指数函数得二。忍其中。,为积分常数。当点由。运动到时,在圆锥面上转过角,图,在扇形上有。勺在护户,、形,则有下,所以有⋯‘二二一一。从八。,可知,丫了生圆锥的锥顶半角。下将代入式得丫对应于圆锥轴线转过一个角见锥面上,如将它展成平面也是一个扇一。石刃一,二下,或其中角是公式为常数。中除为参变量之外,其余丫、、均并令扭丫,则式简化成’化它把万价户,公式为等角圆锥螺旋线的矢径方程,为参数方程则有叮二二口’了万“二,。’主之二。万二丫将式中的常量简化,丫,则有并令”丫,、产了、、忆,‘了二口夕刀,’主之二己第期夏鼎立等角圆锥螺旋线的形成原理及投影图的绘制方法公式是等角圆锥螺旋线的参数方程。由公式可知,当时,。,即等回锥螺旋线的起点不在座标原点即不在锥顶,曲线的起始点距锥顶为凡,一当动点在锥面上转动一周时,二,它在锥面上前进之距导程二尸””当万点转动两周时,等角圆锥螺旋的螺距为二产气很显然它的螺距是变数,而且螺距的增加不是简单地成正比例增加,而是成几何级数增加。由于等角圆锥螺旋线的螺距不是常数,因此它又称为变螺距定倾圆锥螺旋线。由图看出曲线上每点的螺距均是变化的。等角圆锥螺旋线的螺距随转角增大而增加,因此动点每转一圈的螺线长也不相同。点转一圈的孤长为叨碑切户粉执臀奋功卜磕一洲十‘二“‘”式中’一夕。”士介图、之二,’分别是并简化得一产一式中、、二对的微分。二,二。将它们分别代入式中,以等角圆锥螺旋线的投影特性了在水平面上的投影我们知道空间曲线在面上的投影,其二座标为。,则公式中的二。,因此等角圆锥螺旋线的水平投影的参数方程为劣夕把式尤、平方相加简化成极座标方程得”’公式表示一条对数螺旋线方程。由此得出结论等角回锥螺旋线的水平投影是对数螺线。如图所示合肥工业大学学报自然科学版年第卷出得解式、在正面上的投影正面投影的夕座标为二之‘将式二取对数,一乃则式一简化成将式代入劣之式中言,之一乙,之一】‘一一了公式表示一条阻尼曲线见图但它的起点不在座标原点。,其起点座标分别为二儿之二在侧平面上的投影在面上的投影,川亡了之乙,用式的方法解出,儿‘公式代表一条阻尼曲线,图所示。因此公式简化...
