垂直于弦的直径【教学目标】学生在经历“实验—观察—猜想—验证—归纳”的研究过程中掌握以下3个知识点,(1)充分认识圆的轴对称性;(2)掌握垂径定理;(3)运用垂径定理进行简单的证明、计算和作图。通过实验操作探索数学规律,激发学生的好奇心和求知欲,同时培养学生动手实践、观察分析、归纳问题和解决问题的能力。【重难点】重点:垂径定理及应用.难点:垂径定理的证明及应用.赵州桥的主桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦长)是37.4m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m,你能求出赵州桥主桥拱的半径吗?如果让你解决该问题,你还想知道什么条件?O实践探究把一个圆沿着它的任意一条直径对折,重复几次,你发现了什么?由此你能得到什么结论?圆是轴对称图形,它的对称轴有无穷多条,任何一条过圆点的直线(或任何一条直径所在的直线)都是对称轴.实践探究1、在圆上任意作一条非直径的弦AB2、作直径CD,使CD垂直于AB,垂足为E3、沿CD折叠,你会发现什么,动动脑筋已知:在⊙O中,CD是直径,AB是弦,CDAB⊥,垂足为E。求证:AE=BE,AC=BC,AD=BD。⌒⌒⌒⌒C.OAEBD证明:连结OA、OB,则OA=OB。因为垂直于弦AB的直径CD所在的直线既是等腰三角形OAB的对称轴又是⊙O的对称轴。所以,当把圆沿着直径CD折叠时,CD两侧的两个半圆重合,A点和B点重合,AE和BE重合,AC、AD分别和BC、BD重合。因此AE=BE,AC=BC,AD=BD⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒OEDCBA垂径定理:垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧即:如果CD过圆心,且垂直于AB,则AE=BE,弧AD=弧BD,弧AC=弧BC。注意:过圆心和垂直于弦两个条件缺一不可问题&探究问题:把垂径定理中的题设垂直于弦的直径换为平分弦的直径。你会得到什么结论?推论:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧。想一想:下列图形是否可以使用垂径定理?为什么?ODCABOBAODCBAODCBA判断(1)垂直于弦的直线平分弦,并且平分弦所对的弧…………………………………………..()(2)弦所对的两弧中点的连线,垂直于弦,并且经过圆心……………………………………..()(3)平分弦的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧………………………………………()××√一条排水管的截面如图所示。已知排水管的半径OB=10,水面宽AB=16。求圆心O到水面的距离。解::作OCAB⊥于C,∵AB是弦,OCAB⊥由垂径定理得:∴AC=BC=1/2AB=8在Rt△OBC中.答:截面圆心O到水面的距离为6.OCDBA解:如图,用AB表示主桥拱,设AB所在的圆的圆心为O,半径为R,经过圆心O做弦AB的垂线OC,D为垂足,OC与AB交于点C,D是AB的中点,C是AB的中点,CD是拱高AB=37.4,CD=7.2AD=1/2AB=1/2×3.74=18.7OD=OC-CD=R-7.2在RtOAD△中,由勾股定理,得OA2=AD2+OD2即R2=18.72+(R-7.2)2解得R≈27.9(m)因此,赵州桥的主桥拱半径为27.9m⌒⌒⌒⌒2、本节课主要运用什么方法来解决一些简单的实际问题?1、经过本节课的学习,你有哪些收获?小结小结经过本节课的学习,你有哪些收获?请和我们一起分享.谢谢大家谢谢大家