第十四章复数——复数的有关概念（二）知识点详析1．知识体系表解2．复数的有关概念和性质：(1)i称为虚数单位,规定,形如a+bi的数称为复数,其中a，b∈R．(2)复数的分类(下面的a，b均为实数)(3)复数的相等设复数，那么的充要条件是：．(4)复数的几何表示复数z=a+bi（a，b∈R）可用平面直角坐标系内点Z(a，b)来表示．这时称此平面为复平面，x轴称为实轴，y轴除去原点称为虚轴．这样，全体复数集C与复平面上全体点集是一一对应的．复数z=a+bi．在复平面内还可以用以原点O为起点，以点Z(a，b)向量所成的集合也是一一对应的(例外的是复数0对应点O，看成零向量)．(7)复数与实数不同处①任意两个实数可以比较大小，而任意两个复数中至少有一个不是实数时就不能比较大小．②实数对于四则运算是通行无阻的，但不是任何实数都可以开偶次方．而复数对四则运算和开方均通行无阻．3．有关计算：⑴怎样计算？（先求n被4除所得的余数，）⑵是1的两个虚立方根，并且：3复数集内的三角形不等式是：，其中左边在复数z1、z2对应的向量共线且反向（同向）时取等号，右边在复数z1、z2对应的向量共线且同向（反向）时取等号。4棣莫佛定理是：5若非零复数，则z的n次方根有n个，即：它们在复平面内对应的点在分布上有什么特殊关系？都位于圆心在原点，半径为的圆上，并且把这个圆n等分。6若，复数z1、z2对应的点分别是A、B，则△AOB（O为坐标原点）的面积是。7=。8复平面内复数z对应的点的几个基本轨迹：①轨迹为一条射线。②轨迹为一条射线。③轨迹是一个圆。④轨迹是一条直线。⑤轨迹有三种可能情形：a)当时，轨迹为椭圆；b)当时，轨迹为一条线段；c)当时，轨迹不存在。⑥轨迹有三种可能情形：a)当时，轨迹为双曲线；b)当时，轨迹为两条射线；c)当时，轨迹不存在。4．学习目标(1)联系实数的性质与运算等内容，加强对复数概念的认识；(2)理顺复数的三种表示形式及相互转换：z=r(cosθ+isinθ)OZ(Z(a,b))z=a+bi(3)正确区分复数的有关概念；(4)掌握复数几何意义,注意复数与三角、解几等内容的综合；(5)正确掌握复数的运算：复数代数形式的加、减、乘、除；三角形式的乘、除、乘方、开方及几何意义；虚数单位i及1的立方虚根ω的性质；模及共轭复数的性质；(6)掌握化归思想——将复数问题实数化（三角化、几何化）；(7)掌握方程思想——利用复数及其相等的有关充要条件，建立相应的方程，转化复数问题。（三）例题分析：Ⅰ.2004年高考数学题选1.(2004年四川卷理3)设复数ω＝－＋i，则1＋ω＝A.–ωB.ω2C.D.2．(2004重庆卷2）)设复数,则（）A．–3B．3C．－3iD．3i3.（2004高考数学试题广东B卷14）已知复数z与(z+2)2-8i均是纯虚数,则z=.Ⅱ.范例分析①实数？②虚数？③纯虚数？①复数z是实数的充要条件是：∴当m＝2时复数z为实数．②复数z是虚数的充要条件：∴当m≠3且m≠2时复数z为虚数③复数z是纯虚数的充要条件是：∴当m＝1时复数z为纯虚数．【说明】要注意复数z实部的定义域是m≠3，它是考虑复数z是实数，虚数纯虚数的必要条件．要特别注意复数z＝a+bi(a，b∈R)为纯虚数的充要条件是a＝0且b≠0．[]，所以，代入①得，故选．解法3：选择支中的复数的模均为，又，而方程右边为2+i，它的实部，虚部均为正数，因此复数z的实部，虚部也必须为正，故选择B．【说明】解法1利用复数相等的条件；解法2利用复数模的性质；解法3考虑选择题的特点．求：z【分析】确定一个复数要且仅要两个实数a、b，而题目恰给了两个独立条件采用待定系数法可求出a、b确定z．运算简化．解：设z=x+yi(x，y∈R)将z=x+yi代入|z4|＝|z4i|可得x＝y，∴z=x+xi(2)当|z1|＝13时，即有xx6=0则有x=3或x=2综上所述故z＝0或z=3+3i或z=-22i【说明】注意熟练地运用共轭复数的性质．其性质有：(3)1+2i+3+…+1000【说明】计算时要注意提取公因式，要注意利用i的幂的周期性，要记住常用的数据：，，。（2）原式(3)解法1：原式=(1+2i34i)+(5+6i78i)+…+(997+998i9991000i)=250(22i)=500500i复数集纯虚数集虚数集实数集解法2：设S＝1+2i+3+…+1000，则iS＝i+2+3+…+999+1000，∴(1i)S＝1+i++…+1000【说明】充分利用i的幂的周期性进行组合，注意利用等比...
