与函数有关的恒成立问题VIP免费

与函数有关的恒成立问题第1页，最大值为f(m)、f(n)中的与函数有关的恒成立问题最常见的是二次函数的恒成立问题,分为两种题型:(1)二次函数在R上的恒成立问题；(2)二次函数在给定区间上的恒成立问题.对于二次函数y=ax2+bx+c(a丰0):fa>0①若ax2+bx+c$0在R上恒成立，则仁；［A<0fa<0②若ax2+bx+cW0在R上恒成立，则仁心［A<0函数恒成立问题的求解方法(转化化归思想)分离参数法函数的恒成立问题，一般将其转化为求函数的最大值或最小值问题:①aWf(x)恒成立OaWf(x);min②a$f(x)恒成立Oa$f(x).max在求解恒成立问题时，把参数分离出来，使不等式的一端是含有参数的代数式，另一端是一个区间上的具体函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式，便于问题的解决.这种方法叫做分离参数法.结论二次函数的给定闭区间上的最值问题求二次函数的最大(小)值有两种类型:一是函数的定义域为实数集R,这时只要根据抛物线的开口方向，应用配方法即可求出最大(小)值；二是函数的定义域为某一区间，这是函数的最值由它的单调性确定，而它的单调性又与抛物线的开口方向和对称轴的位置(在区间上、在区间的左侧、在区间的右侧)来决定，当开口方向或对称轴位置不确定时，还需要进行分类讨论.求二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0)在区间Im,n］上的最值分为以下三种情况：(1)对称轴在区间的左侧若x=~bn，则f(x)在区间\m,n］上是减函数，最大值为f(m),最小值为f(n).2—注意：当抛物线的对称轴x=-—在区间\m,n］上,即mW-丄Wn时，函数的最小2—2—值在顶点处获得,为顶点的纵坐标,即f(x)min确定需要分为两种情况:区间\m,n］的中点为m^n(由中点坐标公式得到).2①当mW-—Wm^n时(即右端点n距离对称轴较远)，函数的最大值为f(n);2—2②当少±2<丄Wm时(即左端点m距离对称轴较远)，函数的最大值为f(m).22—综上所述,二次函数的最大值为f(x)=max{f(m),f(n)}.max常见的二次函数最值问题类型类型1定轴定区间类型二动轴定区间类型三定轴动区间类型四动轴动区间二次函数的最值的图象说明f(nif(m)llf(n)；l对称轴在区间的右侧与函数有关的恒成立问题第4页当m主0时，则有m>0A=(2m)2—4m<0，解之得:00[A=b2-4ac<0fa>0也即一元二次不等式ax2+bx+c20(a丰0)恒成立的条件是/[A=b2-4ac<0解:由题意可得:A=a2—4(3—a)W0,解之得:—6WaW2.・•・实数a的取值范围是[—6,2].例2.若不等式mx2+2mx+1>0的解集为R,则实数m的取值范围是.分析:设函数f(x)=mx2+2mx+1,则不等式mx2+2mx+1>0的解集为R就转化为了函数f(x)>0恒成立的问题•注意，这里函数f(x)不一定是二次函数,它的二次项系数含有参数,要对二次项系数进行分类讨论.解:当m=0时，无论x取任何实数,1>0恒成立，符合题意;综上所述，实数m的取值范围是【0,1).例3.关于x的不等式(1+m)x2+mx+m