旋转流体中圆球沿旋转轴运动产生的扰动乐嘉春�(戴世强推荐,1997年1月6日收到)摘��要本文用线化理论分析了整体旋转的理想流体中有一个圆球沿旋转轴作匀速运动时流体的扰动,基于旋轴对称流动的假设导出了决定运动稳定性的扰动压力方程和扰动流函数方程��用简正模法分析了扰动流函数方程,得出了非平凡中性扰动的波数与波速必须满足的约束条件,并求出了扰动的精确表达式��文中得出结论,中性扰动共有三种可能的形式��关键词�旋转流体�物体运动�小扰动�稳定性中图分类号�O351�1�引��言从水中发射的物体在水中穿行时必然会产生扰动,如何在物体的远处探测到这些扰动并根据所得信息判定物体的位置、速度以及发射地点是一个重要的问题��由于被发射物体是旋转的,所以周围流体相对于与物体同步旋转的参考系作整体旋转,这是旋转流体中物体运动的问题��Proudman[1]和Taylor[2]最早研究这类问题,他们证明了当物体缓慢运动时,流动在每一个垂直于旋转轴的平面上是一样的��Taylor通过一系列理论分析和实验,发现物体在旋转流体中的运动有别于它在非旋转流体中的运动,且有些差别与边界条件无关[3]��近几十年来,旋转流体的研究在地球物理学中最多,但这种研究都假设Rossby数是小量,与本文所研究的流动不同��其它方向上近期的研究有:Honji等的实验[4]研究了底部倾斜的水箱作旋转对热对流引起流体重力不稳定运动的影响;Gorodtsov[5]讨论了球对称区域中均匀分布的分层流体因物体沿一方向平动产生的运动;Iyengar等[6]分析了形状近似球的物体在微极流体中的缓慢转动��鉴于中性扰动对流动的稳定性特征有决定性作用,本文着重讨论物体在旋转流场中运动产生的中性扰动��为此我们导出了扰动压力和扰动速度的方程,求解得出三类非平凡中性扰动,对这三类扰动的特征作了讨论��通过分析扰动存在的条件,指出非奇异振荡型长波扰动最可能被测到���2�扰动方程我们考虑密度为�的不可压理想流体充满全空间,流体以角速度�旋转,一个半径为a的刚性小球沿流体旋转轴负向以速度U运动��799�应用数学和力学,第19卷第9期(1998年9月)��AppliedMathematicsandMechanics�����������应用数学和力学编委会编重庆出版社出版��同济大学工程力学与技术系,上海200092已有的理论工作都假设了流动是旋轴对称的(流动物理量在垂直于旋转轴的平面上沿周向不变),实验结果证明这是合理的[7],本文仍采用这一假定��根据流动的特点,我们设立柱坐标系(x,r,�),原点在小球中心,x轴沿旋转轴,坐标系绕x轴以角速度�旋转��记位置向量为r的点处流体速度为v,压力为p,重力为F,坐标系角速度为�(沿x轴方向),则连续性方程和Euler方程是������v=0�����v�t+v��v=F-2��v-��(��r)-1��p设流体的静水压力是p0,若记扰动压力的某种度量是����P=p-p0�-12�2r2因为��(��r)=-�(2-1�2r2),则Euler方程成为�����v�t+v��v+2��v=-�P(2�1)根据流场的旋轴对称性,我们有���=0��设流场受到扰动(vx,vr,v�)这里vx,vr,v�是其平方及乘积可以忽略的小量,受扰压力是P,则流动满足(2�1)��保留一阶小量,则得�����/�t+U�/�x动vx=-�P/�x(2�2)�����/�t+U�/�x�扰动vr-2�v�=-�P/�r(2�3)�����/�t+U�/�x卷第v�+2�vr=0(2�4)连续性方程是��vx�x+1r��r(rvr)=0(2�5)从(2�3)和(2�4)消去v�,我们有������t+U��xxp2+4�2ofvr=-��t+U��xr_�P�r利用(2�5)消去vr并将(2�2)代入,我们得到压力扰动的方程������t+U��xm为步2�2P�x2+�2P�r2+1r�P�r�6+4�2�2P�x2=0(2�6)我们也可以从(2�2)和(2�3)消去P������t+U��x粘性�vx�x-�vx�r规律-2��v��x=0引入扰动流函数�使vx=1r���r,vr=-1r���x并将v�用(2�4)代入,则流函数满足的方程是������t+U��xs2�2��x2+�2��r2-1r���r动腔+4�2�2��x2=0(2�7)(2�6)和(2�7)的比较说明扰动压力和扰动流函数的方程相似,压力方程中的Laplace算子对应流函数方程中的Stokes算子��两个方程都可以作基本方程,但下面的分析中将处理流函数方程...
