《2.3.1椭圆的参数方程》导学案3学习目标1.能用曲线的参数方程去研究曲线的性质．2.会用参数法解决圆锥曲线中的最值、定值等问题.知识梳理1．椭圆的参数方程椭圆的参数方程的常见形式为(θ为参数)．思考探究1．椭圆的参数方程中参数φ的几何意义是什么？【提示】从几何变换的角度看，通过伸缩变换，令椭圆＋＝1可以变成圆x′2＋y′2＝1.利用圆x′2＋y′2＝1的参数方程(φ是参数)可以得到椭圆＋＝1的参数方程(φ是参数)．因此，参数φ的几何意义应是椭圆上任意一点M所对应的圆的半径OA(或OB)的旋转角(称为离心角)，而不是OM的旋转角，如图．学习过程例题精解例题1已知实数x，y满足3x2＋2y2＝6x，求：(1)x＋y的最大值；(2)x2＋y2的取值范围．【思路探究】本题表面上看是代数题，但由于方程3x2＋2y2＝6x可以表示一个椭圆，故可以用椭圆的参数方程来解．【自主解答】方程3x2＋2y2＝6x，即(x－1)2＋＝1.设(1)x＋y＝1＋cosθ＋sinθ＝1＋sin(θ＋α)(其中tanα＝，θ∈[0,2π))．所以x＋y的最大值为1＋.(2)x2＋y2＝(1＋cosθ)2＋(sinθ)2＝1＋2cosθ＋cos2θ＋sin2θ＝－cos2θ＋2cosθ＝－(cosθ－2)2＋，因为cosθ∈[－1,1]，所以0≤x2＋y2≤4.例题2(2013·湖北高考)在直角坐标系xOy中，椭圆C的参数方程为(φ为参数，a>b>0)．在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，直线l与圆O的极坐标方程分别为ρsin＝m(m为非零常数)与ρ＝b.若直线l经过椭圆C的焦点，且与圆O相切，则椭圆C的离心率为________．【解析】由已知可得椭圆标准方程为＋＝1(a>b>0)．由ρsin＝m可得ρsinθ＋ρcosθ＝m，即直线的普通方程为x＋y＝m.又圆的普通方程为x2＋y2＝b2，不妨设直线l经过椭圆C的右焦点(c,0)，则得c＝m.又因为直线l与圆O相切，所以＝b，因此c＝b，即c2＝2(a2－c2)．整理，得＝，故椭圆C的离心率为e＝.【答案】课堂作业1.椭圆(φ为参数)的焦距是________．【解析】根据参数方程，可知a＝3，b＝2.∴c＝＝＝，∴焦距为2c＝2.【答案】22．椭圆＋y2＝1上的点到直线x－y＋6＝0的距离的最小值为________．【解析】设P(cosθ，sinθ)是椭圆上的点，则点P到直线x－y＋6＝0的距离d＝＝，当cos(θ＋)＝－1时，d取到最小值，最小值为2.【答案】2课后检测1.(2013·镇江模拟)在直角坐标系xOy中，直线l的方程为x－y＋4＝0，曲线C的参数方程为(α为参数)．(1)已知在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，点P的极坐标为(4，)，判断点P与直线l的位置关系；(2)设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值．【命题意图】本题主要考查极坐标与直角坐标的互化、椭圆的参数方程等基础知识，考查运算求解能力和转化与化归思想．【解】(1)把极坐标系下的点P(4，)化为直角坐标得点(0,4)．因为点P的直角坐标(0,4)满足直线l的方程x－y＋4＝0，所以点P在直线l上．(2)因为点Q在曲线C上，故可设点Q的坐标为(cosα，sinα)，从而点Q到直线l的距离为d＝＝＝cos(α＋)＋2，由此得，当cos(α＋)＝－1时，d取得最小值，且最小值为.2．已知A是椭圆长轴的一个端点，O是椭圆的中心，若椭圆上存在一点P，使∠OPA＝90°，求椭圆离心率的取值范围．【解】设椭圆的方程为＋＝1，A(a,0)，设P(acosθ，bsinθ)是椭圆上一点，则AP＝(acosθ－a，bsinθ)，OP＝(acosθ，bsinθ)，由于∠OPA＝90°，所以AP·OP＝0，即(acosθ－a)acosθ＋b2sin2θ＝0，a2(cos2θ－cosθ)＋b2sin2θ＝0，a2cosθ(cosθ－1)＋b2(1＋cosθ)(1－cosθ)＝0.因为P与A不重合，所以cosθ－1≠0，则a2cosθ＝b2(1＋cosθ)，＝，＝1－＝1－＝.因为θ∈(0，)∪(π，2π)，所以∈(，1)，e∈(，1)．3．已知椭圆＋y2＝1上任一点M(除短轴端点外)与短轴两端点B1、B2的连线分别交x轴于P、Q两点，求证：OP·OQ为定值．【证明】设M(2cosφ，sinφ)，φ为参数，B1(0，－1)，B2(0,1)．则MB1的方程：y＋1＝·x，令y＝0，则x＝，即OP＝||.MB2的方程：y－1＝x，令y＝0，则x＝.∴OQ＝||.∴OP·OQ＝||×||＝4.即OP·OQ＝4为定值．
