有一个约束条件的三元函数的条件极值VIP免费

四川大学数学学院徐小湛30March2012SantaII,p.158有一个约束条件的条件极值推导三元函数在一个约束条件下取得极值的必要条件四川大学数学学院徐小湛30March2012SantaII,p.158设函数u=f(x,y,z)在点(x,y,z)处取得满足约束条件的极值。由隐函数知识，该约束条件的方程可以确定一个二元函数z=z(x,y)。将这个二元函数代入目标函数，则二元函数u=f(x,y,z(x,y))=u(x,y)在点(x,y)处取得极值。由二元函数极值的必要条件，(,,)0xyz0(1)xzuzffxx0(2)yzuzffyy四川大学数学学院徐小湛30March2012SantaII,p.158另一方面，将二元函数z=z(x,y)代入约束条件方程，得恒等式：(,,(,))0xyzxy以上等式两端分别对x和y求偏导数，得0(3)xzzx0(4)yzzy四川大学数学学院徐小湛30March2012SantaII,p.158由(1),(2),(3),(4)式得由此得到：xxzzfzfxyyzzfzfyyxzxyzfff即两个梯度和在取得条件极值的点处平行。这就是函数u=f(x,y,z)在(x,y,z)处取得满足约束条件的极值的必要条件。{,,}xyzffff{,,}xyz四川大学数学学院徐小湛30March2012SantaII,p.158约束条件(,,)ufxyz函数取得满足(,,)0xyz//f的极值的必要条件是：命题yxzxyzfff即四川大学数学学院徐小湛30March2012SantaII,p.158华阳南湖2012.3.18