利用空间向量求空间距离VIP免费

空间向量之应用3---利用空间向量求距离几种常考的空间距离回顾点到平面的距离：平行线面间的距离两平行平面间的距离两异面直线间的距离转化转化转化这个结论说明,平面外一点到平面的距离等于连结此点与平面上的任一点(常选择一个特殊点)的向量在平面的法向量上的射影的绝对值.如图A,空间一点P到平面的距离为d,已知平面的一个法向量为n,且AP�与n不共线,能否用AP�与n表示d?探究：如何用向量法求点到平面的距离分析:过P作PO⊥于O,连结OA.则d=|PO�|=||cos.PAAPO�∵PO�⊥,,n∴PO�∥n.∴cos∠APO=|cos,PAn�|.∴d=|PA�||cos,PAn�|=|||||cos,|||PAnPAnn��=||||PAnn��.nAPO例1、已知正方形ABCD的边长为4，CG⊥平面ABCD，CG=2,E、F分别是AB、AD的中点，求点B到平面GEF的距离。DABCGFExyzDABCGFExyz解：如图，建立空间直角坐标系C－xyz．由题设C(0,0,0)，A(4,4,0)，B(0,4,0)，D(4,0,0)，E(2,4,0)，F(4,2,0)，G(0,0,2)．(2,2,0),(2,4,2),EFEG�设平面EFG的一个法向量为(,,)nxyznEFnEG��，|BE|211.11ndn��2202420xyxyz(1,1,3),nB(2,0,0)E�即点B到平面EFG的距离为21111.1y取例1、已知正方形ABCD的边长为4，CG⊥平面ABCD，CG=2,E、F分别是AB、AD的中点，求点B到平面GEF的距离。DABCGFExyz（2）求直线BD到平面GEF的距离。|BE|211.11ndn��练习1:的距离。到平面求，，，平面SCDAaADaBCABSAABCDABABCDSA,290SBCDAxyzAPDCBMN练习2:DMPNAxCBzy：如图,以D为原点建立空间直角坐标系D－xyz则D(0,0,0),A(2a,0,0),B(2a,a,0),C(0,a,0),P(0,0,a)∵、MN分别是、ADPB的中点,∴2(,0,0)2Ma211(,,)222Naaa∴2(,,0)2MCaa�,11(0,,)22MNaa�,2(,0,0)2MAa�设(,,)nxyz为平面MNC的一个法向量,∴,nMNnMC��∴202nMCaxay��且022aanMNyz��解得22xyz,∴可取(2,1,1)m�∴MA�在n上的射影长2MAnadn�即点A到平面MNC的距离为2a.正方体AC1棱长为1，求BD与平面GB1D1的距离A1B1C1D1ABCDXYZnnDDd1练习3:G练习4、在边长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N、E、F分别是棱A1B1、A1D1、B1C1、C1D1的中点，求平面AMN与平面EFDB的距离。ABCDA1B1C1D1MNEFxyznnABdzxyABCC1EA1B1例4zxyABCC1).4,2,0(),0,0,2(),0,1,1(),0,0,0(,1BAECxyzC则解：如图建立坐标系),4,2,2(),0,1,1(1BAEC则的公垂线的方向向量为设).,,(,1zyxnBAEC100nCEnAB即02240xyxyz取x=1,z则y=-1,z=1,所以)1,1,1(n).0,0,1(,,ACAC在两直线上各取点1||23.||3nCACEABdn��与的距离EA1B1.已知直三棱柱111─ABCABC的侧棱14AA,底面△ABC中,2ACBC,90BCA,E是AB的中点,求异面直线CE与1AB的距离.例4练习6:如图,的距离。与，求距离为的到面，点所成的角为面与，且面是正方形，SDACABCDSABCDSAABCDSBABCD145ASCDBxyz